cours du 16/09/2015     (répertoire)

• corrigé du devoir
• rappel sur les nombres négatifs :
  • L'opération soustraction (exemple : 3 − 5 = −2), est pratique à écrire,
    mais elle crée une confusion avec le signe "−" de l'opposé (−2)
    ne poserait pas de problème si l'on écrivait l'opposé : 0−2 plutôt que −2
    Remarque : après le "−" de la soustraction il y a un espace, alors qu'après le "−" d'un nombre, il n'y a pas d'espace.
  • a − b = a + opposé(b) = a + (−b)
  • dans la formule : a x² + b x + c = −2 x² − 3 x − 4
    on a : a = −2   ;   b = −3   ;   c = −4
    que l'on doit vérifier en les remettant dans "a x² + b x + c" :
    −2 x² − 3 x − 4 = (−2) x² + (−3) x + (−4)
  • remarque : avec les divisions (exemple : 3 / 5 = 3/5) ce qui n'est pas gênant
    a / b = a × inverse(b) = a × (1/b) = a × b⁻¹
• Principe de calcul :
  • une seule action par terme à chaque ligne
  • 1) moins de chance de se tromper
  • 2) plus facile à lire
  • 3) plus facile à vérifier :
    il est plus facile de trouver 1 erreur par ligne que 2 erreurs dans une même ligne.
• partie 2 question 2 : Pour appliquer le théorème de Pythagore, il faut d'abord dire que le triangle est rectangle.
  • le triangle ABH est rectangle en H
  • D'après le théorème de Pythagore : AB² = HA² + HB²
  • d'où AH² = . . .
• partie 2 question 4 : Pour appliquer le théorème de Thalès, il faut une configuration de Thalès, et que les droites soient parallèles
  • M ∈ (BA) ey N ∈ (BH) donc les triangles BNM et BHA forment une configuration de Thalès.
  • l'énoncé ne dit pas que les droites (MN) et (AH) sont parallèles : il faut donc le prouver
    les droites (MN) et (AH) sont perpendiculaires à (BC) donc elles sont parallèles.
  • On peut appliquer le théorème de Thalès : BM / BA = MN / HA = BN / BH
    6−x / 6 = MN / (3 √3) . . .
• Bonus : f(x) = (√3/2) [9 − (x−3)²] = 2√3
  • simplifier dès le début des calculs (plutôt qu'à la fin)
    • on peut simplifier par √3
      en divisant les 2 côtés de l'équation par √3
    • on peut se débarasser des 2 en dénominateurs
      en multipliant par 2 les 2 côtés de l'équation
  • 9 − (x−3)² = 4
    1) on développe le carré (en l'entourant de [ ]) : 9 − [x² − 6 x + 9] = 4
    2) on distribue le signe moins devant [ ] : 9 − x² + 6 x − 9 = 4
    une seule action à chaque ligne
    Pourquoi ? 1) moins de chance de se tromper 2) plus facile à lire 3) plus facile à vérifier.
    − x² + 6 x − 4 = 0
  • quand il y a plus de signes moins que de signes plus : on peut multiplier par −1
    x² − 6 x + 4 = 0
    car un grand nombre de signes moins augmente le risqe d'erreur.
• forme canonique du trinôme du second degré : f(x) = a x² + b x + c
  • on veut arriver à la forme : f(x) = a (x − x_S)² + y_S
    où S (x_S, y_S) est le sommet de la parabole.
    le facteur le plus important est "a" qui détermine la forme de la parabole.
    x_S et y_S déterminent la position de la parabole.
  • 1) factorisation de a : f(x) = a [ x² + (b/a) x + (c/a) ]
  • 2) début d'un carré : {x + b/(2a)}² = x² + (b/a) x + b²/(4a²)
    f(x) = a [ {x + b/(2a)}² − b²/(4a²) + (c/a) ]
  • 3) mise au même dénominateur des termes constants : − b²/(4a²) + (c/a) = (− b² + 4ac)/(4a²) = − Δ/(4a²)
    f(x) = a [ {x + b/(2a)}² − Δ/(4 a²) ]
    f(x) = a [ x + b/(2a) ]²   −   Δ/(4a)
  • équation de la parabole : y = f(x)
    y + Δ/(4a) = a {x + b/(2a)}²
  • sommet : y est extrêmum pour x + b/(2a) = 0 Soit : x_S = − b/(2a)
    y vaut alors : y_S = − Δ/(4a)
• Solutions de l'équation f(x) = 0 :
  • si Δ ≥ 0 : f(x) = a [ {x + b/(2a)}² − Δ/(4 a²) ] = 0
  • [ x + b/(2a) ]² − [ √Δ/(2a) ]² = 0
  • différence de 2 carrés :
    [ x + b/(2a) − √Δ/(2a) ] × [ x + b/(2a) + √Δ/(2a) ] = 0
  • produit nul si un des termes est nul :
    • x + b/(2a) − √Δ/(2a) = 0
      x = (−b + √Δ) / (2a)
    • x + b/(2a) + √Δ/(2a) = 0
      x = (−b − √Δ) / (2a)
  • si Δ = 0 : les 2 racines sont égales à −b / (2a) : racine double
  • interprétation :
    • Δ > 0 : la parabole coupe l'axe Ox en 2 points [ symétriques par rapport à x_S = − b/(2a) ]
    • Δ = 0 : le sommet de la parabole est sur l'axe Ox (les 2 points d'intersection sont confondus avec le sommet)
    • Δ < 0 :la parabole ne coupe pas l'axe Ox : elle est soit au-dessus (si a > 0), soit au-dessous (si a < 0)

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