devoir du 14/09/2015     (répertoire)

• énoncé
• Théorèmes de Thalès : cours de l'île aux maths (+ 7 minutes de cours en vidéo en bas de la page)
  • 1) Configuration de Thalès : (ABC) et (AMN) sont deux triangles
    • M ∈ (AB)     (les côtés AB et AM ont le même support)
    • N ∈ (AC)     (les côtés AC et AN ont le même support)
    • les points A,B,M et A,C,N sont dans le même ordre.
    • ⇒ les triangles (ABC) et (AMN) forment une configuration de Thalès.
  • 2) Théorème de Thalès :
    si les triangles (ABC) et (AMN) forment une configuration de Thalès
    et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors les triangles (ABC) et (AMN) ont leurs côtés proportionnels :
    AB / AM = AC / AN = BC /MN
  • 3) Réciproque du Théorème de Thalès
    • si les triangles (ABC) et (AMN) forment une configuration de Thalès
    • et si les côtés communs sont proportionnels : AB / AM = AC / AN, alors les droites sont parallèles.
• partie I : A = x² − 6x = (x−3)² −9 = (x−a)² − b
  a = 3 et b = 9
  • méthode alternative, plus simple, on développe : A = x² − 2ax + a² −b = x² − 6x + 0
    ⇒ termes en x² : 1 = 1 OK
    ⇒ termes en x : −2a = −6 ⇔ a = −6/(−2) = 3
    ⇒ termes constants : a² −b = 0 ⇔ b = a² = 9
• partie II :
  • 1) triangle ABC équilatéral, M ∈ ]A, B[ AM = x ⇒ x ∈ ]0, 6[
  • 2) Le triangle (ABH) est rectangle en H : on peut lui appliquer le théorème de Pythagore : AB² = AH² + BH²
    AH² = AB² − BH² = 36 − 9 = 27
    BH = √27 = √3×9 = 3 √3
  • 3) BM = AB − AM = 6 − x
    • M ∈(AB) et Q ∈ (AC) : les triangles (AMQ) et (ABC) forment une configuration de Thalès
      (MQ) // (BC) : on peut appliquer le théorème de Thalès : MQ/BC = AM/AB = MQ/6 = x/6 ⇒ MQ = x
    • NM : M ∈ (AB) et N ∈ (BC) : les triangles (NMB) et (HAB) forment une configuration de Thalès
      (MN) // (AH) car perpendiculaires à (BC) : on peut appliquer le théorème de Thalès :
      MN/AH = BM/BA = NM/(3 √3) = (6−x) / 6
      NM = 3 √3 (6−x) / 6
      NM = (√3 / 2) (6−x)
  • 4) aire de MNPQ = MN × MQ = (√3 / 2) (6−x) × x = − (√3 / 2) (x² − 6x)
• partie III :
  • 1) D(f) = ]0, 6[ car M ∈ ]A, B[
  • 2) On utilise le résultat de la partie I :
    f(x) = − (√3 / 2) (x² − 6x) = − (√3 / 2) [(x−3)² − 9] = (√3 / 2) [9 − (x−3)²] = 9 √3 / 2 − (√3 / 2) (x−3)²
  • 3) f(x) est maximal quand la partie positive (√3 / 2) (x−3)² que l'on retire est minimale : ici nulle
    f(x) est maximale pour x = 3 et vaut alors fmax = f(3) = 9 √3 / 2
• Bonus : f(x) = 2 √3 = (√3 / 2) [9 − (x−3)²]
  • simplifier par √3 / 2 en multipliant chaque côté par son inverse : 2 / √3
  • 4 = 9 − (x−3)²
  • (x−3)² − 9 + 4 = 0
  • x² − 6x + 4 = 0
  • Δ = b² − 4 a c = 36 − 16 = 20 = 4×5
  • x = (6 ± √20)/2 = (6 ± 2 √5)/2 = 3 ± √5     (ces 2 racines appartiennent à ]0,6[)

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