cours du 06/01/2016 : ?     (répertoire)

• Le lapin et le camion (Nouvelle Calédonie 2005) (fin)
  • solution complète
  • 2) pour que le lapin survive, il faut qu'il mette moins de temps que le camion : t₁ < t₂
    • démontrer que c'est équivalent à f(θ) > 0 ?
      il suffit de remplacer t₁ et t₂ par les valeurs trouvées à la question précédente.
  • 3) conclure : étudier la fonction f(θ) sur l'intervalle [0 ; π/2[
    • on pose : f(θ) = 7/2 + 2 tan θ − 4 / cos θ = 7/2 + 2 u / v − 4 / v
      avec : u = sin θ et v = cos θ
                u' = cos θ et v' = − sin θ
    • calculer f '(x) ; étudier son signe ; en déduire la variation de f(x)
      • dérivée de 2 u / v   :   2 (u' v − u v') / v²
      • dérivée de − 4 / v   :   − 4 (− v' / v²) = 4 v' / v²
        à savoir par cœur : (a f)' = a f '     [sans perdre de temps à appliquer (uv)' = u' v + u v']
        à savoir par cœur : (1 / u)' = − u' / u²     [sans perdre de temps à appliquer (u / v)' = (u' v − u v') / v²]
      • à savoir par cœur : (cos θ)² + (sin θ)² = 1     [dessiner un cercle trigo pour s'en souvenir]
    • calculer les valeurs limites de f(θ) pour θ = 0 et π/2
      • cos(0) = 1   ;   sin(0) = 0   ;   tan(0) = 0
      • cos(π/2) = 0   ;   sin(π/2) = 1   ;   tan(π/2) = ∞
      • cos(π/6) = √3 / 2   ;   sin(π/6) = 1 / 2   ;   tan(π/6) = sin(π/6) / cos(π/6) = (1 / 2) × (2 / √3) = 1 / √3
      • (cos θ)² + (sin θ)² = 1
      • calcul avec des fractions : (a/b) / (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a d) / (b c)
        pour diviser par une fraction, on multiplie par l'inverse.
      • multiplier une fraction : (a/b) × c = (a c) / b     (on multiplie le numérateur)
      • diviser une fraction : (a/b) / c = a / (b c)     (on multiplie le dénominateur)
• optimisation de la surface d'un boîte de conserve :
  • Soit une boîte de volume V = 1 000 cm³ : on cherche ses dimensions (r, h) telles que sa surface soit minimum.
    car on veut consommer le moins de tôle possible pour le même volume.
  • Formule du volume d'un cylindre : V(r, h) = B h = π r² h   (Pb de connaissance des formules des volumes)
    à savoir : S(disque) = π r²
  • Formule de la surface : S(r, h) = 2 (π r²) + (2 π r) h   (Pb de connaissance des formules des surfaces et périmètre)
    • où π r² est la surface du fond et du couvercle.
    • et 2 π r h est la surface latérale : le périmètre multiplié par la hauteur.
  • On élimine h entre les 2 formule afin d'obtenir S(r) que l'on optimisera
    • méthode de substitution : h = V / (π r²)   (Pb de calcul : V = π r² h ⇒ h = V / (π r²)
    • S(r) = 2 π r² + 2 π r V / (π r²)
      S(r) = 2 π r² + 2 V / r
  • minimum de S(r) pour S'(r) = 0
    • S' = 4 π r − 2 V / r² = 0
    • 4 π r = 2 V / r²
      2 π r = V / r²
      r³ = V / (2 π)
    • r = [V / (2 π)]^1/3   (Pb de calcul de racine cubique)
      application numérique : V = 1 000 cm³ ⇒ r = [1 000 / (2 π)]^1/3 ≈ 5,42 cm
      h = V / (π r²) ≈ 10,84 cm

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