• loi de Bernoulli : P(X ≥ 30) = p   et   P(X < 30) = 1 − p
  σ = √p (1 − p)
• échantillon de 200 tirages de Bernoulli : Loi binomiale E(p_éch) = p
  σ_moy = √p (1 − p) / n
• Assimilé à une loi Normale : (n = 200 > 30 ; n p = 200 × 0,057 = 11,4 > 5 ; n (1 − p) > 5)
  P(p_éch ∈ [p − 1,96 σ_moy ; p + 1,96 σ_moy]) = 0,95
  σ_moy = √0,0565 (1 − 0,0565) / 200 = 0,016326 ≈ 0,0164   (arrondi par excès)
  intervalle de confiance à 95 % : [ 0,057 − 1,96 × 0,0164 ; 0,057 + 1,96 × 0,0164 ] = [ 0,025 ; 0,089 ]
  Or p_éch = 0,03 est en dehors de l'intervalle :
  on ne peut pas dire que les bons ne sont pas répartis au hasard avec une confiance de 95 %
  les doutes du directeur ne sont pas justifiés.

• Voir Le cours précédent du 3 Février 2016
• A.1) bien
• A.2) v_n = aⁿ v₀
  il fallait dire : comme |a| < 1, aⁿ → 0 quand n → ∞
• B.1) bien
• B.2.a) bien
• B.2.b) croissante d'après la calculatrice : oui
  démonstration de la croissance ? il faut étudier le signe de h_n+1 − h_n.
  démonstration par récurrence :
  • Initialisation/Amorçage : On vérifie que h₁ − h₀ > 0
  • Héritage : on suppose que h_n+1 − h_n > 0
    et on en déduit que h_n+2 − h_n+1 > 0
    en remplaçant h_n+2 par sa définition : 0,75 h_n+1 + 30
      et h_n+1 par sa définition : 0,75 h_n + 30
    on obtient : h_n+2 − h_n+1 = 0,75 (h_n+1 − h_n) > 0
  • On conclue que la relation : h_n+1 − h_n > 0 est vraie ∀ n ≥ 0
    donc que la suite est croissante.
• B.2.3) convergente ? Pense à ce que tu as démontré dans la partie A.
  On vient de démontrer que la suite est croissante.
  Dans la question A.2) on a démontré qu'une suite arithmético-géométrique converge vers la limite b/(1−a)   si |a| < 1
  Ici, a = 0,75 < 1 donc (h_n) converge vers b/(1−a) = 30/(1−0,75) = 30/0,25 = 120

Bac Rochambeau 2015 partie B :
question 1) On demande "P(F1) sachant C" noté : PC(F1) ou P(F1 / C)
La formule littérale est bonne,
mais ton calcul de p(F1 inter C) est faux car tu remplace "P(C) sachant F1" par 0,5 × 0,98 ce qui est faux
"P(C) sachant F1" : on sait que F1 est vrai donc nous nous plaçons parmi les F1 (qui font alors 1)
                               "P(C) sachant F1" = 0,98 : 98% des F1 sont conformes
-> Recalcule correctement p(F1 inter C)
-> Ensuite calcule "P(F1) sachant C" en appliquant la même formule générale, mais de manière différente.
PC(F1) = P(C ∩ F1) / P(C)
  avec P(C ∩ F1) = P(F1) × PF1(C) = 0,50 × 0,98 = 0,49
  et P(C) = 0,49 + 0,30 × 0,90 + 0,20 × 0,80 = 0,49 + 0,27 + 0,16 = 0,92
PC(F1) = 0,49 / 0,92 = 0,5326086956521738 ≈ 0,53

question 2) proportion p achetée à F1 pour obtenir P(C) = 0,92
ta réponse est fausse puisque 0,66 (F1) + 0,30 (F2) = 0,96 différent de 1
au total, l'entreprise doit acheter 100% (= 1) de fèves.
-> quelle est ton erreur ?
si P(F1) = x ; alors P(F2) = 1 − x
probabilité totale : P(C) = P(C ∩ F1) + P(C ∩ F2)
  avec P(C ∩ F1) = P(F1) × PF1(C) = x × 0,98
  avec P(C ∩ F2) = P(F2) × PF2(C) = (1 − x) × 0,90
P(C) = 0,90 + 0,08 x = 0,92
x = 0,02 / 0,08 = 1/4 = 0,25
L'entreprise doit acheter 20ù chez F1 et 75% chez F2