Cours 09 Janvier 2016       (répertoire)

• Devoir Maison : points délicats
  • limites à connaître : (avec n > 1)
    quand x → ∞ : e^x >> xⁿ >> x >> x^1/n >> ln(x)
    lim e^x / xⁿ = lim xⁿ / x = lim x / x^1/n = lim x^1/n / ln(x) = ∞
  • pour les limites en 0⁺ on peut faire le changement de variable u = 1/x → ∞ (avec x = 1/u)
    exemple x→0 ; u→∞   :   lim (x ln x) = lim ln(1/u)/u = lim (− ln(u)/u) = 0
  • pour les limites en −∞ on peut faire le changement de variable u = − x → ∞ (avec x = −u)
    exemple x→−∞ ; u→∞ lim x e^x = lim −u e^−u = lim − u/e^u = 0
  • se débarrasser d'un racine carrée ? il faut l'élever au carré.
    s'il y a plusieurs racines carrées, on les regroupe d'un côté et on élève au carré.
      exemple √(A) × √(B) = C ⇒ (A) × (B) = (C)²
    ATTENTION : on perd de l'information et on introduit de nouvelles racines
        Il faudra vérifier que les solutions vérifient l'équation de départ.
    remarque : cas d'une somme de racines : il faut élever 2 fois au carré
    • √(A) + √(B) = C
    • (A) + (B) + 2 √(A) √(B)= (C)²
    • 2 √(A) √(B)= (C)² − (A) − (B)
    • 4 (A) × (B)= [ (C)² − (A) − (B) ]²   (toutes les racines ont disparu)
  • u_n+1 = u_n (1 + 1 / 2ⁿ⁺¹)
    pour calculer u₂ : écrire la valeur de n que l'on prend pour ne pas confondre n et n+1
    exemple : n = 5 : u₆ = u₅ (1 + 1 / 2⁶)
  • somme d'une série géométrique : S_n = a + a q + a q² + . . . + a qⁿ
    on multiplie par q : q S_n = a q + a q² + a q³ + . . . + a qⁿ⁺¹
    on effectue la différence : (1 − q) S_n = a − a qⁿ⁺¹     Soit : S_n = a (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)
    S_n = (premier_terme − q × dernier_terme) / (1 − q)
    si |q| < 1 alors, quand n → ∞ : limite de S_n = a / (1 − q)
  • démontrer qu'une suite est croissante : 2 possibilités
    • u_n+1 − u_n > 0
    • si (u_n) > 0 : u_n+1 / u_n > 1
• Le lapin et le camion (trigo.)
  • question 1 : bien
  • question 2 : on doit partir du résultat établi à la question 1 : t₁ < t₂
        car f(θ) n'est qu'une expression qu'il faudra retrouver.
    au brouillon, on peut essayer de partir de f(θ) > 0 pour remonter à t₁ < t₂
    Mais c'est très simple de retrouver f(θ) > 0 à partir de t₁ < t₂
    qui devient : t₂ − t₁ > 0 . . .
• complexes : représentation polaire (utile pour les produits)
  • z = a + i b = ρ (cos θ + i sin θ) = ρ e^{i θ}
    car : a = ρ cos θ   et   b = ρ sin θ
    avec : ρ² = a² + b² = z z   et   tan θ = b / a
    (mais cela ne suffit pas à déterminer complètement θ : il faut cos θ = a / ρ et sin θ = b / ρ)
    produit : z₁ z₂ = ρ₁ ρ₂ e^{i (θ₁ + θ₂)}
  • formule de Moivre : e^{i x} = cos x + i sin x
    donc : e^{−i x} = cos x − i sin x
    en additionant : cos x = (e^{i x} + e^{−i x}) / 2
    en soustrayant : sin x = (e^{i x} − e^{−i x}) / (2 i)
  • i = e^{i π/2}       (et même : e^{i (π/2 + 2 k π)} avec k ∈ Z)
    i² = − 1 = e^{i π}
    i⁴ = 1 = e^{i 2 π} = e⁰
  • curiosités :
    • iⁱ = (e^{i π/2})ⁱ = e^−π/2
    • cos(i) = (e⁻¹ + e) / 2 = (e + 1/e) / 2
    • sin(i) = i (e − 1/e) / 2
• Complexes : 2014-sept-antilles-guyane-exo4-enonce   →   correction
• Suites : 2015-pondichery-exo2-enonce   →   correction
• Exponentielle : 2015-pondichery-exo1-enonce   →   correction
• Fonctions : Juin2010_AntillesGuyane_Exo3_Enonce   →   correction
  Le lapin et le camion (trigo.)   →   correction

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