cours du 23 Janvier 2016       (répertoire)

• voir le cours sur les nombres complexes
• z = a + i b   ⇒   z z = a² + b² = r²
  • z = (a + i b) / (c + i d)   ⇒   pour le transformer en z = A + i B,
    il faut multiplier les numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur : (c − i d)
    le numérateur devient : (a + i b) (c − i d) = a c + b d + i (b c − a d)
    le dénominateur devient : (c + i d) (c − i d) = c² + d²
    finalement : z = (a c + b d) / (c² + d²) + i (b c − a d) / (c² + d²)
• z = cos α + i sin α
  • module : |z| = (cos α + i sin α) (cos α − i sin α) = (cos α)² + (sin α)² = 1
  • z est sur le cercle trigo.
  • abscisses : 1/2 ou √3/2
    couper chaque quartier du cercle trigo. en 3 angles (de 30° = π/6)
  • abscisse : 1/√2 = √2/2
    couper chaque quartier du cercle trigo. en 2 angles (de 45° = π/4)
  • racines carrées de l'unité : z² = 1 : { 1 ; −1 }
  • racines cubiques de l'unité : z³ = 1 : { 1 ; j = (−1 + i √3) / 2 ; j² = (−1 − i √3) / 2 }
  • racines quatrièmes de l'unité : z⁴ = 1 : { 1 ; i ; −1 ; −i }
• produit d'un complexe z = (ρ α) par z' = (r, θ) = r (cos θ + i sin θ)
  • produit du module ρ de z par le module r de z'
  • addition de l'argument θ de z' à l'argument α de z
    si r = 1 : z → (rotation d'angle θ et de centre O) → z' z
  • z z' = r (cos θ + i sin θ) × r' (cos θ' + i sin θ')
    z z' = r r' (cos θ cos θ' − sin θ sin θ' + i [cos θ sin θ' + sin θ cos θ'])
    z z' = r r' (cos(θ + θ') + i sin(θ + θ'))
• rotation de centre A (a) et d'angle θ (cos θ + i sin θ) :
  • B(b) est tranformé en C(c) tel que : (c − a) = (b − a) (cos θ + i sin θ)
    AB → AC par la rotation(A, θ)
  • une rotation de i = (cos(π/2) + i sin(π/2)) : rotation d'angle droit ⇒ triangle rectangle isocèle
  • une rotation de (cos(π/3) + i sin(π/3)) : rotation d'angle 60° ⇒ triangle équilatéral
  • multiplication par un complexe de module 1 : rotation ⇒ triangle isocèle
• calcul avec des racines : faire des calculs séparés pour chaque produit.
  • (3 + √3)² = 9 + 6 √3 + 3 = 12 + 6 √3 = 6 (2 + √3)
  • (3 − √3)² = 9 − 6 √3 + 3 = 12 − 6 √3 = 6 (2 − √3)
  • (3 + √3) (3 − √3) = 9 − 3 = 6
  • (−3 + √3) (−3 − √3) = (−3)² − (√3)² = 9 − 3 = 6
  • → permet de vérifier plus facilement chaque calcul partiel.

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