11 juin 2016 : lois à densité   (répertoire)

• Méthodes :
  • lire toutes les questions de l'exercice avant de commencer pour comprendre le problème le mieux possible.
    classer l'exercice dans le type de fiche : géométrie, proba-stat, complexes, fonctions, suites ;
      sous-type : vecteurs, arbre, intervalle, loi, . . . limites, intégrales
  • évaluer la difficulté des questions pour décider de les faire ou de passer à la suite : ne pas perdre de temps.
    je sais comment faire.
    je sais quelle démarche suivre.
    je dois chercher.
  • les énoncés peuvent être compliqués, les premières questions sont simples.
  • risque d'erreur de calcul : détailler les calculs (1 modification par ligne)
    écrire la formule du théorème telle quelle, avant de remplacer (f ' = −u'/u puis remplacer u et u')
    afin de faciliter le contrôle immédiat.
    ainsi que le contrôle ultérieur en cas d'incohérence des résultats.
  • s'appuyer sur les résultats des questions précédentes : pourquoi nous a-t-on fait démontrer ces résultats ?
    qu'est-ce que le correcteur attend de l'élève ? vérification de certaines connaissances.
  • oubli de question : avant de passer à la question suivante : vérifier que l'on n'a pas oublier une question.
    de même : répondre à la question posée.
• programme officiel
  • l'intégration par parties à bien disparu.
  • l'intervalle de fluctuation à 95% des échantillons d'une population B(p) est [p − 1,96 √p(1−p)/n ; p + 1,96 √p(1−p)/n]
    si l'on demande de vérifier que la moyenne de la population suit B(p), on calcule l'intervalle en utilisant cette hypothèse.
    si la moyenne f de l'échantillon tombe en dehors de l'intervalle, c'est une contradiction : l'hypothèse et rejetée.
  • critères d'application de la loi normale : n ≥ 30 ; n p ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5
  • par contre pour l'estimation à 95% de p inconnue : on utilise [f − 1/√n ; f + 1/√n]
    1/√n ≈ 1,96 √p(1−p)/n avec p = 1/2 pour lequel σ est maximum (c'est un intervalle encadrant)
      contrairement à ce que l'on fait dans d'autres "champs" (matières ?)
      où l'on utilise f à la place de p pour évaluer l'intervalle de confiance.
• Bac S métropole 2015 : Sujet   Corrigé
  • connaître la loi exponentielle : moyenne = 1/λ et écart-type = 1/λ
• Bac S Liban 2016 : Sujet   Corrigé
  • exercice 2) reconnaître une loi binomiale B(n,p) : n tirages de Bernoulli B(p)
    Bernoulli X = B(p) : E(X) = p et V(X) = σ²(X) = p (1 − p)
    Loi binomiale X = B(n,p) : E(X) = n p et V(X) = σ²(X) = n p (1 − p)
    Moyenne d'un échantillon de taille n : E(X) = p et V(X) = σ²(X) = p (1 − p) / n
  • intervalle de fluctuation : pour un échantillon de taille n pris dans une population ayant un caractère de Bernoulli de proba p
    exemples : vote pour A / non A ; garçon / fille ; taille > 1,80 m / ≤ 1,80 m ; Vrai / Faux
    hypothèse : population B(p=0,5) ; si f de 'échantillon en dehors de l'intervalle de fluctuation :
      l'hypothèse est rejetée au risque de se tromper de 5%.
  • arbre des probabilités : utiliser les proba. connues pour commencer.
  • exercice 3) f_n+1(x) < f_n(x) ⇒ u_n+1 = ∫_I f_n+1(x) dx < ∫_I f_n(x) dx = u_n
    Une suite décroissante minorée (ici par 0) converge vers une limite (limite ≥ minorant) que l'on ne nous demande pas.
    de même, une suite croissante majorée converge vers une limite (à déterminer ensuite).
  • exercice 4 spécifique : Sujet   Corrigé
    • |Z| = 1 ⇒ |Z|² = Z Z = 1
      z z = (z − 2) (z − 2) = z z − 2 (z + z) + 4
      0 = − 2 (z + z) + 4 = − 2 (x + i y + x − i y) + 4 = 4 (− x + 1)
      ⇔ x = 1 (droite passant par A)
    • méthode du corrigé :
      Z = i (a + i b) / (a + i b − 2) = (i a − b) / (a − 2 + i b)
      Z = (i a − b) (a − 2 − i b)/ [(a − 2 + i b) (a − 2 − i b)] = [− b a + 2 b + a b + i (a² − 2 a + b²)] / [(a − 2)² + b²]
      Z = [2 b + i (a² − 2 a + b²)] / [(a − 2)² + b²] ∈ I ⇔ b = 0 soit z = a ∈ R
  • exercice 4 spécialité : méthode du corrigé
    affirmation 3 : x − 11 ≡ 0 [5] et x − 11 ≡ 0 [4]
    5 et 4 divisent (x − 11) ; comme 4 et 5 sont premiers entre eux ⇒ (4×5) divise (x − 11)
    comme souvent, la comparaison à 0 simplifie les choses
  • exercice 5 : voir la méthode du corrigé
• intrégration par parties : voir educastream
  • dérivée d'un produit : (u v)' = u' v + u v'   ⇒   u' v = (u v)' − u v'
    on intègre : ∫ u' v dx = ∫ (u v)' dx − ∫ u v' dx
    ∫ u' v dx = [u v] − ∫ u v' dx
  • applications : ∫ P(x) e^x dx   ;   ∫ P(x) sin(x) dx . . .
    on dérive le polynôme P(x) qui se simplifie : v = P(x)
    on intègre e^x qui ne se complique pas : u' = e^x
  • utile pour calculer l'espérance de la loi exponentielle

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