Cours du 14 décembre 2016 : suites   [répertoire]

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• limites de fonctions
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    exercices (les limites commencent à l'exercice 7, page 3)
  • fiche limites
  • les formes indéterminées :
    • ∞ − ∞
    • 0 × ∞
      • ∞ / ∞
      • 0 / 0
  • formes parfaitement définies (au signe près) :
    • 1 / 0 = ∞   (ou : si a ≠ 0 : a / 0 = ∞ )
    • pour déterminer le signe, on peut faire un tableau de signes :
      exemple : lim (x+1)/(x−1) quand x → 1
      (x+1) → 2   et   (x−1) → 0   :   2/0 = ∞

      x	−∞		−1		1		∞
      x+1	−	−	0	+	+	+	+
      x−1	−	−	−	−	0	+	+
      (x+1)/(x−1)	1	+	0	−	||	+	1

      d'après le tableau de signes :
      lim (x+1)/(x−1) quand x → 1 par valeurs inférieures (x < 1) : limite = − ∞
      lim (x+1)/(x−1) quand x → 1 par valeurs supérieures (x < 1) : limite = + ∞
    • méthode rapide (sans tableau de signes) :
      • lim (x+1)/(x−1) quand x → 1 par valeurs inférieures (x < 1) : x − 1 < 0 = (2 / −0) = − ∞
        étude de signe sur un (infiniment) petit intervalle : ] 1−ε ; 1 [
            avec ε suffisamment petit pour que les signes ne changent pas.
        (x+1) → 2 > 0   et   (x−1) < 0 → −0   :   (x+1)/(x−1) → (2 / −0) = − ∞
      • lim (x+1)/(x−1) quand x → 1 par valeurs supérieures (x > 1) : x − 1 > 0 = (2 / +0) = + ∞
  • limites de f(x) = (2 − x) / [(x − 3) (3 − 3 x)]
    2 valeurs interdites = 2 asymtotes verticales : x = 3 et x = 1
    quand x → 1 par valeurs négatives : f(x) → − ∞     soit x = 1 − h   avec h → 0 par valeurs positives

    limites en	x =	(2 − x)	(x − 3)	(3 − 3 x)	limite de f(x) quand h → +0
    1 − 0	1 − h	1	−2	+ 3 h	1 / (−6 h) → −∞
    1 + 0	1 + h	1	−2	−3 h	1 / (6 h) → +∞
    3 − 0	3 − h	−1	−h	−6	−1 /(6 h) → −∞
    3 + 0	3 + h	−1	h	−6	1 /(6 h) → +∞

    asymptotes horizontales (ou inclinées) : quand x → ±∞
    lim f(x) = lim −x / [(x) (−3 x)] = lim 1 / (3 x) = 0   asymptote horizontale : y = 0
  • remarques : soit limite quand x → a
    • quand on divise par (x − a), l'expression change de signe en passant par l'infini.
      si l'on divise par (x − a)^2p : l'expression ne change pas de signe
      si l'on divise par (x − a)^2p+1 : l'expression change de signe
    • Dans la méthode rapide :
      on étudie le signe au voisinage de a   sur les 2 intervalles ]a−h ; a[ et ]a ; a+h[
      les termes qui ne tendent pas vers 0, tendent vers des valeurs de signes déterminés.
      le terme qui tend vers 0 prend le signe du coefficient de h
• réviser les fonctions cos et sin : cercle trigo

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