- conseils pour les révisions (L'étudiant)
- Programme de math
- livret de révisions (tout ce qu'il faut savoir en terminale S en 42 pages)
- fiches de cours
- annales du bac série S, toutes matières :
maths
physique-chimie
- Pondichéry 2017 (pour les nouvelles tendances) : mathematiques physique-chimie
- Programme de physique-chimie
- exercices de BAC sélectionner le thème de l'exercice dans la colonne de gauche
- cours sur le site : www.lyceedadultes.fr
- géométrie 3D : intersection d'un plan défini par 3 points (I, J, K) et un cube (ABCDEFGH). repère=(A, AB, AD, AE)
- les 6 faces du cube définissent 6 plans
- Il faut trouver 2 points I, J qui se trouvent dans un même plan (face du cube)
on prolonge la droite (IJ) qui va couper les arêtes (ou leur prolongement) de la face qui appartient au plan - les points sur les arêtes appartiennent à 2 faces du cube :
on recommence avec 2 points qui appartiennent à une autre face du cube. - résultat final : quand on est revenu au point de départ :
on repasse sur les segments à l'intérieur des faces du cube.
on obtient une figure plane qui peut avoir de 3 à 6 côtés. - 3 exemples de constructions : trouver l'ordre de tracer des traits ! (On donne 3 points du plan)
Avec I=(a,0,0) J=(0,a,0) K=(0,0,a) : n=(1,1,1)/√3 dist = a/√3 Seuils : 0, 1/√3, 2/√3, √3I=(1,0,0) J=(0,2,0) K=(0,0,3) I=(1.5,0,0) J=(0,1.5,0) K=(0,0,1.5) I=(2.1,0,0) J=(0,2.1,0) K=(0,0,2.1) 
IJ, JK, KI → L,M,N,O → LN, (MO) IJ, JK, KI → L,M,N,O,P,Q IJ, JK, KI → L,M,N,O,P,Q → LO, MP, NQ
- complexes
- connaissances : i2 = −1
- z = x + i y = r eiθ = r (cos(θ) + i sin(θ))
forme cartésienne : z = x + i y est l'affixe du point M(x, y)
forme polaire : z = r (cos(θ) + i sin(θ)) avec x = r cos(θ) et y = r sin(θ)
et module = |z| = r = √x2 + y2 - |z| = r = √a2 + b2
- conjugué : z = x − i y ; z z = x2 + y2 = r2 = |z|2
- Arg(z) = angle(Ox,OM) = θ
- valeurs particulières : 1 = e0 = ei 2 π
2 racines carrées de 1 : 1 = e0 et −1 = 1 = ei π
3 racines cubiques de 1 : 1 = e0 ; j = ei 2 π/3 = cos(2 π/3) + i sin(2 π/3) = −1/2 + √3 / 2 ; j2 = ei 4 π/3 = −1/2 − √3 / 2
4 racines 4ème de 1 : 1, i, −1, −i
5 racines 5ème de 1 : 1 ; ei 2 π/5 ; ei 4 π/5 ; ei 6 π/5 ; ei 8 π/5
n racines nième de 1 : ei k 2 π/n avec k ∈ { 0, 1, . . . , n−1 } - distance entre le point A(zA=1) et M(zM=eiθ) :
AM = |zM − zA| = |cos(θ) − 1 + i sin(θ)|
AM2 = (cos(θ))2 − 2 cos(θ) + 1 + (sin(θ))2 = 2 − 2 cos(θ) = 2 (1 − cos(θ))
AM = √2 (1 − cos(θ))
- z = x + i y = r eiθ = r (cos(θ) + i sin(θ))
- méthodes : mettre une fraction sous la forme a + i b
z = z1 / z2 = z1 z2/ |z2|2
- connaissances : i2 = −1
- probabilités-stat.
- connaissances : moyenne mu , écart-type sigma
- Pour une population (infinie) dont on connaît la proportion p (= proportion de votants pour A)
ou proportion de pièces défectueuses
Les échantillons de taille n suivent la loi binomiale B(n,p) : P(X=k) = (k parmi n) pk (1−p)n−k
d'après l'arbre des cas possibles (k parmi n) = n! / (k! (n−k)!)
la moyenne des échantillons est p et son écart-type est σ = racine(p(1−p) / n) - si n > 30 et np > 5 et n(1−p) > 5, on peut assimiler la loi binomiale à la loi normale N(μ=p, sigma)
on sait alors que P(μ − σ < X < μ + σ) = 0.68
la probabilité pour que la moyenne de l'échantillon soit dans l'intervalle [μ − σ ; μ + σ]
P(μ−1.96 sigma < X < μ+1.96 σ) = 0.95
P(μ−3 σ < X < μ+3 σ) = 0.997 - Si un échantillon a une moyenne f qui appartient à l'intervalle [μ − 1.96 σ ; μ + 1.96 σ],
c'est correct au seuil de confiance de 95% : on doit accepter la réalité de la moyenne μ de la population
si la moyenne f de l'échantillon est à l'extérieur de l'intervalle de confiance : on doit refuser la moyenne μ de la population
toujours au seuil de confiance de 95%. - Si on ne connaît pas la moyenne de la population,
mnémotechnique : cas le plus défavorable : p=1/2 on alors 1.96 σ ≈ 2 σ = 1 / √n
on peut assimiler la moyenne μ de la population à la moyenne f de l'échantillon
la moyenne μ de la population appartient à l'intervalle [f − 1/√n ; f + 1/√n] avec une proba de 95% - loi exponentielle : densité de probabilité : f(x) = λ e−λx avec x ≥ 0
P(0 ≤ X ≤ a) = ∫0a f(x) dx = ∫0a λ e−λx dx
la primitive de e−λx est e−λx / (−λ)
P(0 ≤ X ≤ a) = ∫0a λ e−λx dx = λ [e−λx / (−λ)]0a = [−e−λx]0a = −e−λa − (−e−λ0) = 1 − e−λa
donc : P(X ≥ a) = 1 − P(0 ≤ X ≤ a) = e−λa
espaérance de la loi exponentielle : E(X) = ∫0a x f(x) dx = 1 / λ - 2016-france-metropolitaine-exo1 : Sujet Corrigé
- conversion degré ↔ radian : 1 tour = 360 × 1° = 2π × 1 rad
⇔ 1° = (2π / 360) rad et 1 rad = (360/(2π)) °
x rad = (180 / π) y° et y° = (π / 180) x rad
règle de trois car degrés et radians sont proportionnels :
produit en croix : 2 π rad y° = 360° x rad soit : π y = 180 x1 tour = 2 π rad = 360° règle de trois
car les ° et les rad sont proportionnelsz tour = x rad = y° - vecteurs, géométrie 3d :
- vecteur AB = point B − point A = vecteur OB − vecteur OA
- montrer qu'un vecteur "n" est perpendiculaire à un plan :
- 1) si l'on a l'équation du plan (ax+by+cz=d), le vecteur normal au plan est (a, b, c).
il suffit que le vecteur "n" soit colinéaire au vecteur (a, b, c) : ∃ k tel que n = (ka, kb, kc) - 2) si l'on connaît 2 vecteurs indépendants du plan,
il suffit que le vecteur "n" soit ⊥ aux 2 vecteurs du plan (il est alors ⊥ à tous les vecteurs du plan)
- 1) si l'on a l'équation du plan (ax+by+cz=d), le vecteur normal au plan est (a, b, c).
- équation d'un plan dont on connaît le vecteur normal n=(a, b, c) et 1 point :
le point doit vérifier l'équation, ce qui détermine "d" - équation d'une droite passant par un point A et de vecteur directeur n :
2D ou 3D : en vecteur : OM = OA + k n
on décompose cette équation vectorielle sur les 2 ou 3 axes : x = xA + k nx ; y = yA + k ny . . . - intersection d'une droite et d'un plan : le point (x, y, z) qui appartient au plan et à la droite.
- suites
- connaissances :
- suites arithmétiques : u0 et un+1 = un + r ou un = u0 + n r
- suites géométriques : u0 et un+1 = q un ou un = u0 qn
- suites arithmético-géométriques : u0 et un+1 = q un + r
limite possible : L = q L + r
la suite vn = un − L est géométrique de raison q ⇒ vn = qn v0 - suites : u0 et un+1 = f(un)
tracé de la toile d'araignée ou de l'escalier avec la calculatrice
limite possible : L = f(L)
- méthodes : un+1 = f(un) avec f(x) est croissante
démonstration par récurrence : un < un+1 ⇒ un+1 < un+2
si u0 < u1 = f(u0) ⇒ (un) est croissante
si u0 > u1 = f(u0) ⇒ (un) est décroissante
- connaissances :
- exp, ln
- connaissances : exp et ln sont des fonctions croissantes
- dérivée de eu = eu u'
ea+b = ea × eb
Dexp = R = ] −∞ ; ∞ [ ; ex > 0 ∀ x ∈ R - dérivée de ln(u) = u' / u
ln(a b) = ln(a) + ln(b) ; ln(an) = n ln(a)
Dln = ] 0 ; ∞ [ ; ln(x) < 0 for x ∈ ] 0 ; 1 [ ; ln(x) > 0 for x ∈ ] 1 ; ∞ [
- dérivée de eu = eu u'
- méthodes :
- connaissances : exp et ln sont des fonctions croissantes
- fonction intégration
- connaissances :
- g(x) = f(u) → df/dx = df/du × du/dx = f '(u) u'
exemple : g(x) = f(u) = ln(x2+1) = ln(u) avec u = x2+1
df/du = f '(u) = 1 / u
⇒ g'(x) = dg/dx = df/dx = f '(u) u' = u' / u avec u = x2+1 donc u' = 2x
f '(x) = 2 x / (x2+1) - dérivées avec u(x) : on remplace x par u et on multiplie par u'
(eu(x))' = eu(x) u'(x) (eu)' = eu u'
(ln(u(x)))' = u'(x) / u(x) (ln(u))' = u' / u
(1 / u(x))' = − u'(x) / u2(x) (1 / u)' = − u' / u2 - étude de variation : calcul de la dérivée et factorisation
- pour passer de f(x) = 1/ [1 + e1−x] à ex / [ex + e]
on doit multiplier le numérateur par ex donc aussi le dénominateur par ex - calculer une intégrale : il faut trouver la primitive (donc chercher si f(x) figure dans les dérivées connues)
d'après le résultat fourni, on voit qu'il y a un ln( )
la primitive peut donc être ln( ) dont la dérivée est u' / u - interprétation graphique des intégrales : aire sous la courbe.
- démontrer qu'une suite d'intégrales est décroissante : la calculer comme on a fait.
Mais on peut faire plus simple : démontrer que fn(x) ≥ fn+1(x)
⇒ ∫01 fn(x) dx ≥ ∫01 fn+1(x) dx
Théorème : f(x) < g(x) et a < b ⇒ ∫ab f(x) dx < ∫ab g(x) dx - une suite (ou fonction) a-t-elle une limite quand n (ou x) → ∞ ?
- Théorème : si la suite (ou fonction) est décroissante minorée : elle converge nécessairement ( vers une limite ≥ minorant )
un > un+1 > m ⇒ (un) → L ≥ m - Théorème : si la suite (ou fonction) est croissante majorée : elle converge nécessairement ( vers une limite ≤ majorant )
un < un+1 < M ⇒ (un) → L ≤ M
- Théorème : si la suite (ou fonction) est décroissante minorée : elle converge nécessairement ( vers une limite ≥ minorant )
- g(x) = f(u) → df/dx = df/du × du/dx = f '(u) u'
- méthodes :
- justifier que le point B(2e ; 2) ∈ Cf avec f(x) = x ln(x/2) − x + 2
remplacer x par 2e : faire attention f(2e) = 2e ln(e) − 2e + 2 = 2e − 2e + 2 = 2 soit l'ordonnée de B - justifier de la droite Ox est tangente à Cf au point I : 2 conditions
- 1) le point I ∈ Cf
- 2) la dérivée de f(x) au point I = coefficient directeur de la tangente proposée (ici 0)
- calculer la tangente au point B : y = f '(a) × (x − a) + f(a)
- on demande f0 et u0 : il faut déjà remplacer n par 0 dans fn(x) : f0(x) = 1
fonction constante (donc de coeff. directeur = 0)
et dans un : u0 = ∫01 f0(x) dx = 1 - recenser toutes les informations de l'énoncé + les résultats des questions précédentes.
c'est en utilisant ces informations que l'on peut démontrer les résultats demandés - les premières questions sont faciles : c'est là que l'on peut assurer un minimum de points.
- justifier que le point B(2e ; 2) ∈ Cf avec f(x) = x ln(x/2) − x + 2
- connaissances :
1 à chaque cours