Cours du 29 septembre 2017 : suites   [répertoire]

• suites arithmético-géométriques
• revoir cours_2017_09_23 suites récurrentes u_n+1 = f(u_n)
  • suite croissante : u_n < u_n+1 que l'on peut ré-écrire :
    • u_n+1 − u_n > 0
    • u_n+1 / u_n > 1   (si u_n > 0)
  • suite décroissante : u_n > u_n+1 que l'on peut ré-écrire :
    • u_n+1 − u_n < 0
    • 0 < u_n+1 / u_n < 1   (si u_n > 0)
  • seules limites possibles : L = f(L)
    c'est un point singulier car u₀ = L ⇒ u_n = L ∀ n (suite constante)
  • cas f(x) croissante (f '(x) > 0) sur un intervalle I (exemple I = [0 ; ∞[)
    les relations d'inégalité sont héréditaires :
    • u₀ < u₁ ⇒ suite croissante (si u_n ∈ I)
    • u₀ < L ⇒ u_n < L : suite majorée (si u_n ∈ I)
    • le seul risque est que la suite sorte de l'intervalle I où f(x) est croissante
      Il faut démontrer que : u₀ ∈ I ⇒ u_n ∈ I
      I = [a ; b] ⇒ f(I) = [f(a) ; f(b)]
      Il faut démontrer que f(I) ⊆ I
      Vrai si f(a) et f(b) ∈ I = [a ; b]
  • démonstration par récurrence en 4 étapes :
    • 0) Quelle est la propriété P(n) à démontrer
      exemple : suite croissante soit u_n < u_n+1 ∀ n       (ou u_n+1 − u_n > 0)
    • 1) init. : propriété vraie pour n = 0 : P(0)
      exemple : u₀ < u₁
    • 2) hérédité : si propriété vraie pour n : P(n) ⇒ P(n+1)
      exemple : u_n < u_n+1 avec f '(x) > 0
      ⇒ f croissante
      ⇒ f(u_n) < f(u_n+1)
      ⇒ u_n+1 < u_n+2
    • 3) conclure : La démonstration par récurrence permet d'affirmer que P(n) vrai ∀ n
• Ne pas confondre (comme moi) suites récurrentes : u_n+1 = f(u_n) et suites explicites u_n = f(n)
  (ce qui peut arriver en cours de calcul)
  • sens de variation :
    • croissante (u_n<u_n+1) si u_n+1 − u_n > 0 (exemple : suites arithmétiques)
      décroissante si u_n+1 − u_n < 0
      • exemple : suite explicite : u_n = f(n) = (2 n + 1) / (3 n + 2)
        u_n+1 − u_n = (2 (n+1) + 1) / (3 (n+1) + 2) − (2 n + 1) / (3 n + 2)
        u_n+1 − u_n = (2 n + 3) / (3 n + 5) − (2 n + 1) / (3 n + 2)
        u_n+1 − u_n = [ (2 n + 3) (3 n + 2) − (2 n + 1) (3 n + 5) ] / [ (3 n + 5) (3 n + 2) ]
        u_n+1 − u_n = [ 6 n² + 13 n + 6 − (6 n² + 13 n + 5) ] / [ (3 n + 5) (3 n + 2) ]
        u_n+1 − u_n = 1 / [ (3 n + 5) (3 n + 2) ]
        comme n ≥ 0 : et que des additions,
        u_n+1 − u_n > 0 ∀ n ≥ 0
        Même ici, il est plus simple d'étudier la variation de f(x) si u_n contient des puissances, des logarithmes ou des exponentielles
          dérivée à calculer (dont on connaît les formules)
      • exemple : suite récurrente : u_n+1 = f(u_n) = (2 u_n + 1) / (3 u_n + 2)
        Ce qu'il ne faire que si f(x) est arithmétique (trivial) ou n'est pas monotone (jamais rencontré en TS) :
        u_n+1 − u_n = (2 u_n + 1) / (3 u_n + 2) − u_n
        u_n+1 − u_n = [ (2 u_n + 1) − u_n (3 u_n + 2) ] / (3 u_n + 2)
        u_n+1 − u_n = [ 1 − 3 u_n² ] / (3 u_n + 2)
        tableau de signe de u_n+1 − u_n :

        un	−∞		−2/3		−1/√3		1/√3		∞
        un+1 − un	∞	+	||	−	0	+	0	−	−∞

        Il reste à démontrer que u_n reste dans I = [ −1/√3 ; 1/√3] !
        Nous n'avons pratiquement pas avancé !
        (facile à faire par récurrence si f(x) est croissante sur I)
        Conclusion :
        Pour les suites récurrentes : utiliser les démonstrations par récurrence avec f(x) croissante.
    • croissante (u_n<u_n+1) si u_n > 0 et (u_n+1/u_n) > 1 (exemple : suites géométriques)
      décroissante si : 0 < (u_n+1/u_n) < 1
    • suites explicites : u_n = f(n)
      si f(x) est croissante sur [0 ; ∞[, alors f(n) est croissante aussi.
      si f(x) est décroissante sur [0 ; ∞[, alors f(n) est décroissante aussi.
• mouvements rectilignes : conditions initiales : (t=0, x₀, v₀)
  si t = t₀ ≠ 0, il faut remplacer t par (t − t₀)
  si x₀ ≠ 0, on peut aussi calculer d = x − x₀

  type	a(t)	v(t)	x(t)	graphique
  repos	0	0	x0	point
  MRU	0	v0	x0 + v0 t	droite
  MRUV	a	v0 + a t	x0 + v0 t + a t2/2	parabole

  MRU Varié : car ils différencient accéléré (accélération > 0) et décéléré (accélération < 0) ?
• en physique, vous ferez la même chose en 2 dimensions : trajectoire d'un ballon
  • horizontale : a_x = 0 ⇒ x(t) = x₀ + v_x0 t
  • verticale : a_y = −g ⇒ y(t) = y₀ + v_y0 t − g t²/2
  • trajectoire : on élimine t entre x(t) et y(t) pour obtenir y(x)
    t = (x − x₀) / v_x0 (méthode de substitution)
    y = y₀ + (v_y0/v_x0) (x − x₀) − g (x − x₀)² / (2 v_x0²)
  • sommet : dy(x)/dx = 0 :
    0 = (v_y0/v_x0) − g (x − x₀) / v_x0²
    0 = v_y0 v_x0 − g (x − x₀)
    g (x − x₀) = v_x0 v_y0
    x_S = x₀ + v_x0 v_y0 / g
    y_S peut être obtenu par y(x_S) ou bien dy(t)/dt = 0

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