Cours du 6 octobre 2017 : suites   [répertoire]

• Pour le contrôle sur les suites, revoir :
  • les classiques : suite arithmétique et suite géométrique.
    suites arithmétiques (ainsi que leur somme)
    suites géométriques (ainsi que leur somme)
  • suites arithmético-géométriques
  • suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) avec f(x) croissante
    cours_2017_09_23
    cours_2017_09_29
• conservation de l'information :
  • l'information est donnée dans l'énoncé (et dans nos connaissances mathématiques)
    une démonstration mathématique est une "tautologie" :
      on redit la même chose sous une forme différente.
    La conclusion est déjà présente dans l'énoncé, mais sous une forme cachée.
  • équivalence : P ⇔ Q : entre les propriétés P et Q, il y a la même information.
    P ⇒ Q et Q ⇒ P
  • implication : P ⇒ Q : entre les propriétés P et Q, on a perdu de l'information.
    on ne peut plus revenir en arrière : Q n'implique pas P.
  • Il y a aussi une deuxième forme d'information :
    quand on factorise une expression ou un nombre, on crée de l'information,
    de même quand on résoud un problème.
    On apporte une valeur ajoutée, mais ce n'est pas une information mesurable comme la précédente.
• théorème de comparaison : (quand n → ∞)
  • u_n < v_n ⇒ lim(u_n) ≤ lim(v_n)
  • si on l'applique 2 fois : v_n < u_n < w_n ⇒ lim(v_n) ≤ lim(u_n) ≤ lim(w_n)
    On obtient le théorème des gendarmes.
    Il n'y a pas de différence entre le th. des gendarmes et le th. de comparaison.
  • Cas particuliers :
    • v_n < u_n < w_n avec lim(v_n) = lim(w_n) = L ⇒ lim(u_n) = L
    • v_n < u_n avec v_n → ∞ ⇒ u_n → ∞
    • u_n < v_n avec v_n → −∞ ⇒ u_n → −∞
• Inégalité de Bernoulli : P(n) = "(1+x)ⁿ ≥ 1 + n x et x ≥ 0" pour n ≥ 0
  • init. : n = 0 : (1+x)ⁿ = (1+x)⁰ = 1
    1 + nx = 1 + 0 x = 1
    on constate que P(0) est vraie car 1 ≥ 1.
  • hérédité : pour n fixé quelconque ≥ 0 : on admet P(n) vraie
    • (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx       (1)
      x ≥ 0 ⇒ 1 + x ≥ 1 > 0 ; comme (1+x) > 0 : on peut multiplier (1) par (1+x)
    • (1+x)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + n x) (1+x)
    • (1+x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + x + n x + n x²
      n ≥ 0 ⇒ n x² ≥ 0       (2)
      en ajoutant 1 + x + n x à (2) on obtient :
      1 + x + n x + n x² ≥ 1 + x + n x
    • ⇒ (1+x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + x + n x
      CQFD (Ce Qu'il Fallait Démontrer)
• démonstration par récurrence en 4 étapes :
  • 0) La propriété P(n) à démontrer est "u_n < u_n+1 ∀ n≥0"
  • 1) init. : propriété vraie pour n = 0 : P(0) est vraie.
    on constate que : u₀ < u₁
  • 2) hérédité : pour un "n" fixé quelconque (≥0) : P(n) ⇒ P(n+1)
    comme n est fixé : P(n) est vrai, mais on ne sait pas (encore) pour P(n−1) ou P(n+1)
    exemple : u_n < u_n+1 avec f '(x) > 0
    f '(x) > 0 ⇒ f croissante
    f croissante ⇒ f(u_n) < f(u_n+1)
    f(u_n) < f(u_n+1) ⇔ u_n+1 < u_n+2
    la propiété P(n) est héréditaire ∀ n≥0
  • 3) conclusion : Comme la propriété P est vraie pour n=0 et héréditaire,
    la démonstration par récurrence permet d'affirmer que P(n) est vraie ∀ n≥0
• Les ondes progressives : déplacement u(x,t) = f(t − x/c)
  • le son est dû à une oscillation "u" des molécules d'air selon la position "x" et le temps "t"
  • un onde électromagnétique (la lumière) est due à une oscillation des champs électriques (et magnétiques).
  • Une perturbation u(x=0, t) = f(t) se propage à la vitesse (célérité) c > 0
    elle arrive en x au temps t=x/c
    l'onde en (x,t) est la même que celle en x=0 au temps t−x/c, son instant d'origine.
    u(x, t) = u(0, t−x/c) = f(t − x/c)   déplacement vers la droite
    u(x, t) = u(0, t+x/c) = f(t + x/c)   déplacement vers la gauche
  • on peut décomposer n'importe quelle oscillation périodique
      en une somme d'oscillations sinusoïdales ou "cosinusoïdales" simples.
    soit : f(t − x/c) = ∑ a_k sin(ω t − k x) + b_k cos(ω t − k x)
  • Pour une onde simple : sin(ω t − k x) ou cos(ω t − k x)
    • sin(ω t − k x) = sin(ω (t − x/c)) = sin(2 π (t/T − x/λ))
    • période : T
      fréquence : f = 1/T
      longueur d'onde : λ
    • d'où : ω = 2 π / T
    • et : k = ω / c = 2 π / λ = 2 π / (c T)
      λ = c T
• Les 3 lois de Képler :
  • Un satellite S décrit une ellipse dont un des foyer est la Terre T.
  • La vitesse aréolaire est constante :
    l'aire balayée par le rayon vecteur TS par unité de temps est constante.
    ceci traduit la conservation du moment cinétique.
    Comme un patineur qui tourne sur lui-même :
    • lentement s'il a les bras écartés (loin du corps)
      loin de la Terre, le satellite va lentement.
    • rapidement s'il a les bras serrés (près du corps)
      près de la Terre, le satellite va vite.
  • Une relation entre la période de rotation "T" et le demi grand axe "a" de l'ellipse.
    T² / a³ = 4 π² / G M_T

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