Cours du 14 novembre 2018 : Maths   [répertoire]

• références :
  • Cours précédent   ;   cours 2018
  • suites
  • puissances (de 10)
  • derivées de base
  • primitives de base
  • sujets de bac avec corrigés.
  • annales thématiques
• Mode d'emploi de la TI82
  • la TI82 possède 3 claviers que l'on sélectionne avec les 2 touches de couleur.
      Les 3 claviers de la TI82   Les menus de la TI82
  • manuel TI82 complet   →   suites page 132
  • Suites détaillé
  • calculatrices
  • suites
• F(x) primitive de f(x) ⇒ ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)
• Métropole 2017 : P_A(B) = P(A∩B) / P(A)
  • 2017 france-métropolitaine exo4 :   énoncé     corrigé
    la population A est proportionnelle à P(A) à l'intérieur de laquelle on prend B : P_A(B)
    Comme on est parmi la population A : B = A∩B puisque B ⊂ A
    P(I₂) = somme de tous les chemins arrivant à un I₂ :
    P(I₂) = P(S₁ ∩ I₂) + P(M₁ ∩ I₂) + P(I₁ ∩ I₂)
    P(I₂) = P_S1(I₂) × P(S₁) + P_M1(I₂) × P(M₁) + P_I1(I₂) × P(I₁)
    P_I2(M₁) = P(I₂∩M₁) / P(I₂)
  • S_n, M_n et I_n sont les seuls cas possibles à l'étape n :
    donc la probabilité totale nous donne :
    1 = P(S_n) + P(M_n) + P(I_n)
    (système complet d'évènements)
  • arbre entre les rangs n et n+1
    tableur : case C3 : C et 3 ne signifient rien, il faut les traduire : C=v et 3=(n=1)
    pic épidémique : semaine 4   facultatif : (la proba. max 8,59% est atteinte)
    u_n+1 : une seule contribution venant de u_n
  • récurrence : proposition P(n) = équation vraie ou fausse = [ u_n = (0,85^n − 0,65^n)/4 ]
    utiliser le même indice que l'énoncé : n
• Amérique du Sud Novembre 2017 : suite géométrique + 5% : u_n+1 = 1,05 u_n
  • 2017 amérique-du-sud exo5 :   énoncé     corrigé
    u_n+1= −1,1/605 u_n^2 + 1,1 u_n = g(u_n)
    tableau de variation de g(x) : g'(x) linéaire : g'(x) = 0 pour x=605/2=302,5
    sur [0;60], g'(x)>0 donc g(x) est croissante ↗
    fonction g croissante : a < b   ⇒   g(a) < g(b) : la première inégalité est héréditaire
    g(x) = x : solutions 0 et 55
    0 ≤ u_n ≤ 55 => g(0) ≤ g(u_n) ≤ g(55) soit 0 ≤ u_n+1 ≤ 55
    l'encadrement est héréditaire
    g(x) ↗   ⇒   [ a<b ⇒ g(a)<g(b) ]
• pondichery 2017 exercice 4
  • énoncé : u₀=1, u_n+1 = 2 u_n − n + 3   ,   v_n = 2ⁿ
  • formules Excel : correspondance u₀ ↔ B2 donc u₁ ↔ B3 . . . ligne 2 ↔ nombre 0
    suite n : A2=0, A3=A2+1 à recopier dans la colonne A
    suite u_n : u₀=B2=1, u₁ = 2 u₀ − 0 + 3 soit B3=2*B2-A2+3 à recopier dans la colonne B
    suite v_n : v₀=B2=2^0=2^A2
  • conjecturer : remplir avec la suite de l'énoncé. (u_n/v_n) s'approche de 3
    u_n tend vers 3 v_n donc + l'infini
    calculer la suite (u_n/v_n)
  • récurrence : u_n = 3×2ⁿ + n − 2
    rang 0 : u_n = 1 d'une part et 3×2ⁿ + n − 2 = 1 : la conjecture est vérifiée au rang n
    u_n+1 = 2 u_n − n + 3 = 2 (3×2ⁿ + n − 2) − n + 3 = 3×2ⁿ⁺¹ + 2×n − 4 − n + 3
    u_n+1 = 3×2ⁿ⁺¹ + n − 1 = 3×2ⁿ⁺¹ + (n+1) − 2
    la proposition est héréditaire . . .
  • seuil : 3×2ⁿ + n − 2 > 10⁶
    utilisation des résultats précédents : u_n voisin de 3 × 2ⁿ
    on sait calculer 3 × 2ⁿ > 10⁶ : n > ln(10⁶/3) / ln(2)) = 18,34 donne une valeur approchée de n : 19
    calcul exact pour n−1 et n, jusqu'à encadrer 10⁶
  • limite à l'infini : factoriser le terme le plus grand : u_n = 2ⁿ (3 + n/2ⁿ − 2/2ⁿ)
    limite = limite(2ⁿ) × limite(3 + n/2ⁿ − 2/2ⁿ) = (+∞) × 3 = +∞
  • suite décroissante : w_n=u_n/v_n est-elle supérieure à w_n+1=u_n+1/v_n+1
    u_n+1/v_n+1 = (2 u_n − n + 3) / 2ⁿ⁺¹ = u_n/2ⁿ + (3 − n)/2ⁿ⁺¹
    u_n+1/v_n+1 − u_n/2ⁿ = (3 − n)/2ⁿ⁺¹
    à partir du rang 4 : n > 3 donc 3−n < 0 : u_n+1/v_n+1 − u_n/2ⁿ < 0
    soit : u_n+1/v_n+1 < u_n/2ⁿ la suite décroît.
  • limite de suite : u_n/v_n = 3 + n/2ⁿ − 2/2ⁿ
    n/2ⁿ ≤ 1/n donc : (3 − n)/2ⁿ⁺¹
    limite de 3/2ⁿ⁺¹ = 0 et limite de n/2ⁿ⁺¹ ≤ limite 1/n = 0
    somme des limites : limite de u_n/v_n = 3

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