Cours du 27 novembre 2018 : Maths   [répertoire]

• références :
  • Cours précédent   ;   cours 2018
  • suites
  • puissances (de 10)
  • derivées de base
  • primitives de base
  • sujets de bac (avec corrigés).
  • annales thématiques :   on y trouve tous les exercices de type BAC (avec corrigés)
• fonction f(x) = (ax+b)/(cx+d) :
  asymptote verticale quand on divise par 0 : cx+d=0 soit x=−d/c
  asymptote horizontale quand x → ±infini : y=a/c   (démonstration : f(x) = x(a + b/x) / [x(c + d/x)] = (a + b/x) / (c + d/x)
  limite de (a + b/x) / (c + d/x) = (a + 0) / (c + 0) = a/c
  limite de (ax+b)/(cx+d) = infini/infini indéterminée : pour lever l'indétermination, il faut simplifier par un terme infini
• asymptote oblique : f(x) = (ax²+bx+c)/(dx+e) quand x → infini
  limite (ax²+bx+c)/(dx+e) = infini/infini indéterminée
  limite x² (a+b/x+c/x²) / [x(d+e/x)] = limite(x) a/d = infini (avec le signe de a/d)
  coefficient directeur = direction asymptotique : limite(f(x)/x) = limite (a+b/x+c/x²) / (d+e/x) = a/d
  ordonnée à l'origine = limite(f(x) − (a/d) x) = limite [x(bd-ae) + cd]/[x d² + ed]
  . . . = limite [(bd−ae) + cd/x]/[d² + ed/x]
  . . . = [(bd−ae) + 0]/[d² + 0] = (bd−ae)/d²
  asymptote : y = (a/d) x + (bd−ae)/d²
  entraînement avec : limite de f(x) = (x²+2x+3)/(4x+5) quand x → infini puis quand x → − infini
• Suites : 2017-asie-exo2-enonce :   Corrigé
  1)   astuce : n₀=0 ; . . . ; n_k=k : u₁ = (n₀+1)/(2*n₀+4)*u₀ = (1/4)u₀ ; v₀ = (n₀+1)*u₀ = u₀
  ou bien remplacer n par (n) : n+1 → (n)+1 ; 3-2n → 3-2(n)   où on remplace (n) par (n+1) . . .
  u_n+1 = ((n)+1)/(2*(n)+4)*u_n
  v_n = ((n)+1)*u_n   ⇒   v_n+1 = ((n+1)+1)*u_n
  2) v_n+1/v_n = (n+2)u_n+1/[(n+1)u_n] = (n+2) (n+1)u_n / [(2n+4)(n+1)u_n] = (n+2)/(2n+4) = 1/2
  suite géométrique de raison q=1/2
  v_n = v₀(1/2)ⁿ = 1/2ⁿ de limite 0 car |q| < 1
  3) limite(u_n) = limite(v_n/(n+1)) = 0 / infini = 0
• 2018-antilles-guyane-enonce (exercice 4 page 5)
• 2018-centres-etrangers-enonce (exercice 3 partie B pages 4 et 5)
• 2018-liban-enonce (exercice 5 page 6)
• 2018-nouvelle-caledonie-enonce (exercice 3 QCM page 4 + exercice 4 partie A page 5) :   Corrigé
  1) u₀=14 ; u_n+1=2u_n−5 : limite L=2L−5 : L=5 : u_n−5 est géométrique q=2
  t_n+1/t_n = (u_n+1−5)/(u_n−5) = (2u_n−5−5)/(u_n−5) = 2(u_n−5)/(u_n−5)=2 A VRAIE
  u_n = t_n+5 = t₀2ⁿ+5 ; t₀=u₀−5=14−5=9 B VRAIE
  2) si (v_n) est encadrée par [−1;+1] elle ne converge pas si elle oscille : contre-exemple : v_n = sin(n) qui ne converge pas C FAUSSE
  3) somme de suite arithmétique : s_n=s₀+n r : S = s₁ + s₂ + . . . + s_n
  S = n (s₁ + s_n)/2 = n (11+8n+3)/2 = n(7+4n) D VRAIE
  4) (w_n) > 0 entraîne : limite w_n ≥ 0 : exemple w_n=1/n > 0 or limite(1/n)=0 E FAUSSE
• Entraînement au calcul
• Mode d'emploi de la TI82
  • la TI82 possède 3 claviers que l'on sélectionne avec les 2 touches de couleur.
      Les 3 claviers de la TI82   Les menus de la TI82
  • manuel TI82 complet   →   suites page 132
  • Suites détaillé
  • calculatrices
  • suites
• page sur Pythagore
• exercice : calculer la fonction réciproque de y(x) = (2x+3)/(4x+5) : on doit trouver x(y) = . . .
  exemple : y(x)=(3x+4)/(5x+6) <---> x(y)=(-6y+4)/(5y-3) :
  on peut vérifier en remplaçant dans y(x) : x par x(y) que l'on obtient bien y=y
• F(x) primitive de f(x) ⇒ ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

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