Cours du 04 décembre 2018 : Maths   [répertoire]

• références :
  • Cours précédent   ;   cours 2018
  • fiche proba
  • suites
  • puissances (de 10)
  • derivées de base
  • primitives de base
  • sujets de bac (avec corrigés).
  • annales thématiques :   on y trouve tous les exercices de type BAC (avec corrigés)
• Limite de suite : calcul de √a : u_n+1 = (1/2) (u_n + a / u_n) ; u₀ = 1
  Seules limites possibles : L = (1/2) (L + a/L)   (pour n infini : u_n = u_n+1 = L)
  développement : L = L/2 + a/(2 L)
  L/2 = a/(2 L)
  L/2 − a/(2 L) = 0
  mise au même dénominateur : 2L Soit : L²/(2 L) − a/(2 L) = (L² − a)/(2 L) = 0
  donc numérateur L² − a = 0 soit (L + √a)(L − √a) = 0
  2 seules limites possibles : L= ± √a
• étude de fonction :
  • f(x) = (2x² + 3 x + 4) / (5 x + 6) = u/v avec u = 2x² + 3 x + 4 et v = 5 x + 6
    quand on utilise u et v, il faut les définir.
    u' = 4x+3 ; v'=5
    Domaine de définition : valeur interdite : 5 x + 6 = 0 soit x = −6/5   Conclusion : D_f = ℝ − {−6/5}
    sens de variation : dérivée f '(x) = (u'v − uv') / v² = ((4x+3)×(5 x + 6) − (2x² + 3 x + 4)×5) / (5 x + 6)²
    f '(x) = (20x² + 24x + 15x + 18 − (10x² + 15 x + 20)) / (5 x + 6)²
    f '(x) = (20x² + 24x + 15x + 18 − 10x² − 15 x − 20)) / (5 x + 6)²
    f '(x) = (10x² + 24x − 2) / (5 x + 6)²
    f '(x) = 2 (5x² + 12x − 1) / (5 x + 6)²   Δ = 12² − 4×5×(−1) = 144 + 20 = 164 = 4×41
    racines du numérateur : (−12 ± 2 √41) / (2×5) = (−6 ± √41) / 5
    tableau de variation . . .
    asymptote verticale : x=−6/5
    limite f(x)/x quand x→infini : limite (2x² + 3 x + 4) / (5 x² + 6 x) = 2/5 (direction asymptotique)
    limite f(x) − (2/5)x = limite (2x² + 3 x + 4) / (5 x + 6) − 2x/5
    dénominateur commun : 5 (5 x + 6)
    limite f(x) − (2/5)x = limite (10x² + 15 x + 20 − 10x² − 12 x) / (25 x + 30) = limite (3 x + 20) / (25 x + 30) = 3/25
    asymptote oblique : y = (2/5)x + (3/25)
  • 2017-polynesie exercice 2
    V = (1/3) h A = (1/3) h π l²   ;   R² = h² + l²
    d'où : V(h) = (1/3) h π (R² − h²)
    maximum ? V'(h) = 0 avec V(h) croissant à gauche et décroissant à droite
    V'(h) = (1/3) π (R² − 3 h²) = (1/3) π (R + √3 h) (R − √3 h)
    V'(h) = 0 pour h = ± R/√3   seule la solution positive a un sens dans ce problème
    h < R/√3 h est entre les 2 racines : V'(h) est du signe opposé à (−3) > 0 : V(h) ↗
    h > R/√3 h est en dehors des racines : V'(h) est du signe de (−3) < 0 : V(h) ↘
    h = R/√3 correspond bien à un maximum
    cos(α) = h/R = 1/√3
    α = arccos(1/√3) en radian
    conversion radian -> degré : π radians = 180° donc α radians = α (180/π)°
    1 radian = (180/π)°
    1° = (π/180) radians
• probabilités :
  2017-sept-antilles-guyane-exo1-enonce Partie A
  arbre 2×2 ; 3 données : 2 proba conditionnelles + 1 proba totale (équation)
  2016-antilles-guyane exercice 1 Partie A question 1
  arbre 2×2 ; question 2 Loi Binomiale
  2018-antilles-guyane exercice 1 Partie A
  arbre 3×2
  2018-asie exercice 2 Partie A Question 1
  2018-centres-etrangers exercice 3 Partie B (+suites AG)
  2018-france-metropolitaine exercice 2 Partie A
  2018-liban exercice 5 (proba+suites AG)
  exercice 1 Partie A
  exercice 3 Partie B (équation)
  exercice 1 Partie C question 2 (équation)
• exercice : Lancer d'une pièce : loi de probabilité (Bernoulli B(p)) :

  résultat X =	Pile = 0	Face = 1
  P(résultat) =	1−p	p
  Moyenne ?	0×(1−p)	1×p	Moyenne(X) = Espérance(X) = p
  Variance ?	02×(1−p)	12×p	Variance(X) = E(X2) − (E(X))2 = p − p2 = p (1−p)

  On lance la pièce jusqu'à ce que l'on obtienne une Face : on a gagné et on s'arrête ; sans dépasser 4 lancers.
  Faire un arbre des 4 lancers de pièce successifs (la proba p est constante : les lancers sont indépendants)
  p₁ = p₁(Face) = p ; . . .
  Calculer la probabilité d'obtenir une Face selon le numéro du lancer
  Calculer la probabilité de perdre (4 Piles) : (la somme des probabilités doit faire 1)
  Faire le tableau de la loi de probabilité du nombre de lancers

  nombre de lancers : n =	n=1	n=2	n=3	n=4
  Pn(gagné) =	p	(1−p) p	(1−p)2 p	(1−p)3 p
  Qn(perdu) =	(1−p)	(1−p)2	(1−p)3	(1−p)4

  Probabilité de perdre avec un droit à 4 tirages : (1−p)⁴
  Probabilité de gagner avec un droit à 4 tirages : 1 − (1−p)⁴
  On peut vérifier que p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + q₄ = 1   (somme des 5 issues possibles)
    en additionnant p₄ + q₄ = (1−p)³ p + (1−p)⁴ = (1−p)³ (p + (1−p)) = (1−p)³ on trouve q₃
    en additionnant p₃ + q₃, on trouve q₂
    . . .
    en additionnant p₁ + q₁ = p + (1−p) = 1
  Conjecturer les probabilités p_n et q_n si l'on continue de lancer indéfiniment :
  p_n = (1−p)ⁿ⁻¹ p
  q_n = (1−p)ⁿ
  On peut vérifier que p₁ + p₂ + . . . jusqu'à l'infini = 1
  S = p + (1−p) p + (1−p)² p + . . . = p × somme géométrique de raison (1−p)
  S = p × 1 / (1 − (1−p)) = p/p = 1

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