Contrôle du 8 février 2011 question 2.1.2 ( Exercice 2 Partie 1 question 2 )

• Dans la question 1, nous avons vérifié que : A² = −A + 2 I
• Démontrer par récurrence que pour tout n appartenant à N, il existe des réels a_n et b_n tels que : Aⁿ = a_n A + b_n I
• On précisera les valeurs de a₀ et b₀
  • n = 0 donne A⁰ = a₀ A + b₀ I
  • or A⁰ = I
  • Les inconnues sont a₀ et b₀
  • en identifiant terme à terme les 2 membres de l'équation : I = a₀ A + b₀ I
  • coefficient de A : a₀ = 0
  • et coefficient de I : b₀ = 1
  • On peut calculer au brouillon les premières puissances de A pour voir :
  • n = 1 : A¹ = a₁ A + b₁ I = A => a₁ = 1 et b₁ = 0
  • n = 2 : A² = a₂ A + b₂ I = −A + 2 I => a₂ = −1 et b₂ = 2
  • n = 3 : A³ = a₃ A + b₃ I = −A² + 2 A = −( − A + 2 I ) + 2 A = 3 A − 2 I => a₃ = 3 et b₃ = −2
• On exprimera a_n+1 et b_n+1 en fonction de a_n et b_n
  • La relation de récurrence est vraie pour le premier terme : n = 0 ( voir ci-dessus )
  • On suppose qu'elle est vraie pour le terme n : Aⁿ = a_n A + b_n I
  • On vérifie qu'alors elle est vraie pour le terme suivant : n+1
  • Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A
  • Aⁿ⁺¹ = ( a_n A + b_n I ) × A
  • On ne fait qu'un remplacement à la fois car on ne sait pas encore où l'on va
  • Aⁿ⁺¹ = a_n A² + b_n A
  • Or nous avons démontré à la question précédente que : A² = −A + 2 I
  • L'objectif est de simplifier l'expression en diminuant son degré
  • L'objectif est de n'avoir que des A et des I dans le développement :
    en remplaçant A² par ( −A + 2 I ), on va faire disparaître les puissances de A
  • On remplace quelque chose de "gênant" : A²
    par quelque chose que l'on "souhaite" : une expression linéaire de A et I
  • Aⁿ⁺¹ = a_n ( −A + 2 I ) + b_n A
  • développement en termes simples :
  • Aⁿ⁺¹ = −a_n A + 2 a_n I + b_n A
  • regroupement des termes qui nous intéressent : A et I :
  • Aⁿ⁺¹ = ( b_n − a_n ) A + 2 a_n I
  • Par identification terme à terme avec : Aⁿ⁺¹ = a_n+1 A + b_n+1 I
  • On obtient : a_n+1 = b_n − a_n
    et b_n+1 = 2 a_n
• Conclusion de la démonstration par récurrence
  La relation Aⁿ = a_n A + b_n I est vraie pour n = 0 ;
  si elle est vraie pour n, elle se propage à n+1, donc elle est vraie quelque soit n ≥ 0
• question suivante question 3

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