Contrôle du 8 février 2011 question 2.1.3 ( Exercice 2 Partie 1 questions 3 à 5 )
- Dans la question 1, nous avons vérifié que : A2 = −A + 2 I
- question précédente : Dans la question 2, nous avons démontré :
- an+1 = bn − an
- bn+1 = 2 an
- question 3) Démontrer : an+2 = −an+1 + 2 an
- on exprime an+2 :
an+2 = bn+1 − an+1
- −an+1 fait partie de l'expression demandée :
il ne reste plus qu'à remplacer bn+1
- an+2 = 2 an − an+1
- Remarque : si l'expression avait été plus compliquée,
comme on nous donne la réponse,
on aurait exprimé chaque membre en fonction de an et bn
( afin d'avoir une formulation unique )
et constaté leur identité :
an+2 = 3 an − bn
- question 4) en déduire an puis bn
- an+2 = −an+1 + 2 an
- an est une suite linéaire d'ordre 2 :
son expression est de la forme :
an = A r1n + B r2n
- équation caractéristique : r2 = − r + 2
- r2 + r − 2 = 0
- Δ = b2 − 4 a c = 1 + 8 = 9 = 32
- r = ( −b ±√Δ) / (2 a)
- r = ( −1 ± 3 ) / 2 : 2 solutions distinctes { 1, −2 }
- an = A + B (−2)n
- Pour trouver les 2 coefficients,
il faut les 2 valeurs initiales a0 et a1
qui permettent d'amorcer la récursion (pour a2 ...).
- on a a0 = 0 et b0 = 1
d'où a1 = b0 − a0 = 1
- Soit le système à résoudre : ( méthode de combinaison )
0 | = | A | + | B |
| | | × 1 |
| | | × 2 |
1 | = | A | − | 2 B |
| | | × −1 |
| | | × 1 |
- −1 = 3 B => B = −1 / 3
- 1 = 3 A => A = 1 / 3
- an = ( 1 − (−2)n ) / 3
- vérification pour n = 0 : a0 = 0 OK
- vérification pour n = 1 : a1 = (1 + 2) / 3 = 1 OK
- vérification pour n = 2 : a2 = (1 − 4) / 3 = −1 OK
- vérification pour n = 3 : a3 = (1 + 8) / 3 = 9 / 3 = 3 OK
- expression de bn : bn = 2 an−1
( pour n ≥ 1 )
- bn = 2 ( 1 − (−2)n−1 ) / 3
- bn = ( 2 − 2 (−2)n−1 ) / 3
- bn = ( 2 + (−2)n ) / 3
- vérification pour n = 0 (pas encore démontré) :
b0 = ( 2 + (−2)0 ) / 3 = ( 2 + 1 ) / 3 = 1
- l'expression de bn est valable pour n ≥ 0
- question 5) expliciter la matrice An
- An = an A + bn I
- An = (1/3) [ ( 1 − (−2)n ) A + ( 2 + (−2)n ) I ]
- An = (1/3) [ A + 2 I + (−2)n ( I − A ) ]
- matrice ( A + 2 I ) :
On remarque que c'est la matrice N de l'énoncé !
- matrice ( I − A ) :
- D'où An :
(1/3) |
3 × (−2)n | 0 | 0 |
2 − 2 × (−2)n | 3 |
2 − 2 × (−2)n |
0 | 0 | 3 × (−2)n |
- En simplifiant par 3, An :
(−2)n | 0 | 0 |
(2 + (−2)n+1)/3 | 1 |
(2 + (−2)n+1)/3 |
0 | 0 | (−2)n |
- vérification de cette formule pour n dans { 0, 1, 2 } OK
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