Cours du 19 Mars 2011 ( Contrôle du 8 février 2011 )

• Tableau des lois de probabilités dicrètes ( X prend des valeurs x entières )
  p constant (pièce) = tirage avec remise (urne)

  Loi	X mesuré	P(X=x)	E(X)	V(X)
  uniforme	valeur x de [[ 1, n ]]	1 / n	(n+1)/2
  binomiale (avec remise)	nombre x de succès [[ 0, n ]] pour n tirages	(x parmi n) px qn−x	n p	n p q
  géométrique (avec remise)	nombre x de tirages [[ 1, ∞ [[ pour le 1er succès	qx−1 p	1 / p	q / p2
  binomiale négative (avec remise)	nombre x de tirages [[ 1, ∞ [[ pour le kième succès	(k−1 parmi x−1) pk qx−k	k / p	k q / p2
  hyper géométrique (sans remise)	nombre x de succès [[ 0, n ]] dans un échantillon (n)	(x parmi M) (n−x parmi N−M) / (n parmi N) population : M succès pour un effectif de N	n M / N
  Poisson	nombre d'arrivées [[ 0, ∞ [[ dans un intervalle	e−λ λx / x!	λ	λ

• rappels de cours :
  • fonction de répartition à 1 dimension : P(X) = f(x)
    • à chaque valeur x (dans N) correspond une probabilité de tirer x : P(X=x)
    • représentation graphique :
      • axe Ox des valeurs possibles,
      • en y : f(x) = P(X=x)
    • exemple :
      • x = valeurs des notes [[0 ; 20]]
      • en y nombre d'élèves ayant obtenu cette note
      • X étant le tirage aléatoire d'un élève dont on mesure la note
    • La loi P(X) est représentée par un tableau à une entrée : x

      Note : x =	0	1	2	3	4	5	cumul
      effectifs	0	2	6	8	3	1	20
      proba. (fréquence)	0	0,1	0,3	0,4	0,15	0,05	1

    • Pour qu'une fonction de répartition soit une loi de probabilité, il faut 2 conditions :
      • 1) chaque probabilité d'évènement élémentaire doit être ≥ 0 : P(X=x) ≥ 0
      • 2) la somme de ces probabilité d'évènements élémentaires doit être égale à 1 : ∑_x P(X=x) = 1
  • fonction de répartition à 2 dimensions : P(X,Y) = f(x,y)
    • à chaque couple de valeurs (x,y) (dans N²) correspond une probabilité de tirer (x,y) : P(X=x, Y=y)
    • représentation graphique :
      • axe Ox et Oy des valeurs possibles,
      • en z : f(x,y) = P(X=x et Y=y)
    • exemple :
      • x = valeurs des notes [[0 ; 20]] ; y = sexe des élèves [[0 ; 1]]
      • en z nombre d'élèves ayant obtenu cette note
      • X étant le tirage aléatoire d'un élève dont on mesure la note
      • Y étant le tirage aléatoire d'un élève dont on mesure le sexe
    • La loi P(X,Y) est représentée par un tableau à deux entrées : x, y
      La feuille de papier étant 2d, il faut faire un tableau pour chaque grandeur (effectifs, proba., maximum, ...)
      ( ou découper les cases en plusieurs champs : ici, effectifs (proba.) )

      Note : x =	0	1	2	3	4	5	cumul
      Sexe : y = 0	0 (0)	1 (0,05)	4 (0,2)	2 (0,1)	2 (0,1)	1 (0,05)	10 (0,5)
      Sexe : y = 1	0 (0)	1 (0,05)	2 (0,1)	6 (0,3)	1 (0,05)	0 (0)	10 (0,5)
      effectifs	0	2	6	8	3	1	20
      proba. (fréquence)	0	0,1	0,3	0,4	0,15	0,05	1

  • Pour qu'une fonction de répartition soit une loi de probabilité, il faut 2 conditions :
    • 1) chaque probabilité d'évènement élémentaire doit être ≥ 0 : P(X=x, Y=y) ≥ 0
    • 2) la somme de ces probabilités d'évènements élémentaires doit être égale à 1 : ∑_x,y P(X=x, Y=y) = 1
• Exercice 1 question 02
  Dérivée de la fonction f(t) = t ln(t) − t définie en 2 morceaux ( t ≠ 0 et t = 0 )
• Exercice 2 Partie 1 question 3
  Suite linéaire d'ordre 2
• Exercice 3 question 02
  Probabilités totales et conditionnelles

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