Contrôle du 8 février 2011 question 3.2 ( Exercice 3 question 2 )

• Un ordinateur choisit un des 2 serveurs A et B avec les proba. 0,7 et 0,3
  Les choix successifs sont indépendants les uns des autres
• question précédente : question 1 (proba d'erreur)
• L₁ = k ( longueur de la première série ) :

  A

  A

  A

  A

  A

  B

  ou bien

  B

  B

  B

  B

  B

  A

  k

  k + 1

  k

  k + 1

• On effectue des tirages A jusqu'à un tirage B :
  cela ressemble à la loi géométrique avec p = P(B) et q = 1 − p = P(A)
  Loi géométrique G(p) : P(X=k) = q^k−1 p ( pour k ≥ 1 )

  A	A	A	A	A	B
  k − 1					k

• Calcul de la loi de probabilité de L₁ ( pour k ≥ 1 ) :
  • (L₁ = k) = (AA...k...AB) ou (BB...k...BA)
  • P(AA...k...AB) = P(A)^k P(B)
  • P(BB...k...BA) = P(B)^k P(A)
  • P(L₁ = k) = P(A)^k P(B) + P(B)^k P(A) = (0,7)^k (0,3) + (0,3)^k (0,7)
• Calcul de S = ∑_k a^k b + b^k a   ( en posant a = P(A)^k et b = P(B) = 1 − a )
  • S = ∑_k a^k b + ∑_k b^k a   ( avec k dans [[ 1 ; ∞ [[ )
  • S = ( a¹ − a^∞ ) / ( 1 − a ) × b + ( b¹ − b^∞ ) / ( 1 − b ) × a
  • S = ( a / b ) × b + ( b / a ) × a = a + b = 1
• Espérance de L₁ : E(L₁) = ∑_k k P(L₁=k) = ∑_k k ( a^k b + b^k a )   ( avec k dans [[ 1 ; ∞ [[ )
  • Il faut calculer 2 termes symétriques : S(a) = ∑_k k a^k b   et S(b) = ∑_k k b^k a
  • Or on connaît l'espérance pour la loi géométrique : ∑_k k q^k−1 p = 1 / p   ( avec k dans [[ 1 ; ∞ [[ )
  • On ré-écrit la somme pour faire apparaître l'expression connue :
    ∑_k k a^k b = ∑_k k a^k−1 b × a = (1 / b ) a = a / b
  • d'où l'espérance : E(L₁) = a / b + b / a = 7 / 3 + 3 / 7 = ( 49 + 9 ) / 21 = 58 / 21
• question suivante : question 3 (lois discrètes)

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