Contrôle du 8 février 2011 question 3.3 ( Exercice 3 question 3 )

• question 1 (proba d'erreur)
• question 2 (loi de L₁)
• 3.a) N_n = k : l'ordinateur choisit A k fois pendant les n premiers jours
  • C'est un tirage de k parmi n avec la proba. p = 0,7
  • Loi binomiale (p, n) : P(N_n = k) = (k parmi n) p^k q^n−k
  • E(X) = n p
  • V(X) = n p q
• 3.b) T₁ = k : l'ordinateur a choisi B pendant les (k−1) premiers jours et il choisit A le k^ème jour.
  • Loi géométrique (p) : P(T₁ = k) = q^k−1 p
  • E(X) = 1 / p
  • V(X) = q / p²
• 3.c) T₂ = k : l'ordinateur a choisi (k−2) fois B et 1 fois A pendant les (k−1) premiers jours et il choisit A le k^ème jour.
  • première possibilité : A, (k−2) fois B, A
  • proba. de cet arrangement : p² q^k−2
  • nombre de ces arragements possibles : la A peut prendre toutes les places de 1 à k−1
  • P(T₂ = k) = (k−1) p² q^k−2
• bonus) T_n = k : le k^ème jour est tiré le n^ème A   ( avec k ≥ n )
  l'ordinateur a choisi (k−n) fois B et (n−1) fois A pendant les (k−1) premiers jours et il choisit A le k^ème jour.
  • Loi binomiale négative (p, n) : P(T_n = k) = (n−1 parmi k−1) pⁿ q^k−n
  • E(X) = n / p
  • V(X) = n q / p²

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