Contrôle du 8 février 2011 question 3.1 ( Exercice 3 question 1 )

• Un ordinateur choisit un des 2 serveurs A et B avec les proba. 0,7 et 0,3
  Les choix successifs sont indépendants les uns des autres
• Erreurs de transmission : Le serveur A a un taux d'erreur de 0,1 et le serveur B un taux d'erreur de 0,05
• Il y a 2 tirages ( qui ne sont pas indépendants ) :
  • Tirage du serveur : A ou B ( non A ) avec la proba. 0,7
  • Suivi par le tirage de l'erreur avec une probabilité conditionnelle : P_A(E) = 0,1 P_B(E) = 0,05
  Soit l'arbre binaire suivant : ( Souvent l'arbre binaire est beaucoup plus parlant que les mots )

  → A	P(A) = 0,7	→ E	PA(E) = 0,1	A inter E	P(A inter E) = P(A) × PA(E) = 0,07
  		→ E	PA(E) = 0,9	A inter E	P(A inter E) = P(A) × PA(E ) = 0,63
  → B	P(B) = 0,3	→ E	PB(E) = 0,05	B inter E	P(B inter E) = P(B) × PB(E) = 0,015
  		→ E	PB(E) = 0,95	B inter E	P(B inter E) = P(B) × PB(E ) = 0,285
  	total = 1				total = 1

• Probabilité d'une erreur lors de l'envoi d'un courrier : événement E = ( A inter E ) union ( B inter E )
  • ce qui se déduit de l'arbre binaire ci-dessus ( il n'y a pas d'autre possibilité )
  • ( On peut aussi invoquer la formule des probabilités totales : )
    • Car A et B sont exclusifs ( A inter B = ensemble vide )
    • et A et B forment une partition de Ω ( ensemble des évènements possibles )
    • Ce qui est la définition d'un système complet d'évènements pour la famille { A, B }
    • On peut appliquer la formule des probabilités totales : E = ( A inter E ) union ( B inter E )
  • P(E) = P( A inter E ) + P( B inter E ) = 0,07 + 0,015 = 0,085
• Probabilité P_E(A) = P(A inter E) / p(E) = 0,07 / 0,085 = 70 / 85 = 14 / 17
  • ( On peut dire que l'on applique la loi de Bayes )
• Remarque : il s'agit d'une Loi de probabilité à 2 dimensions : ( X = A ou B ) et ( Y = E ou E )

  		X		P(Y)
  		X = A	X = B	P(Y)
  Y	Y = E	0,07	0,015	0,085
  	Y = E	0,63	0,285	0,915
  	P(X)	0,7	0,3	1

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• question suivante : question 3 (lois discrètes)

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