Cours du Vendredi 24 Septembre 2010

• espace vectoriel des polynômes :
  • espace vectoriel = ensemble des vecteurs que l'on obtient par combinaison linéaire de vecteurs de base.
    exemple de dimension 3 : base = { i, j, k } et V = x i + y j + z k   où : x, y, z ∈ R
  • base canonique : { P₀ = 1, P₁ = X, P₂ = X², P₃ = X³, ... }
  • tout polynome peut s'exprimer dans cette base : P = a x² + b x + c = a P₂ + b P₁ + c P₀
  • dérivées des vecteurs de base ? réponse
• probabilités discrètes : X prend des valeurs aléatoires dans Ω = { x₁, x₂, ..., x_n }
  • loi de répartition (fréquence) : f_i = proba(X = x_i) telle que ∑₁ⁿ f_i = 1   ( X prend forcément une des n valeurs )
  • fréquences cumulées : F_j = ∑₁^j f_i   avec F_n = 1
  • espérance E(X) = x = ∑₁ⁿ f_i x_i   => ∑₁ⁿ f_i ( x_i − E(X) ) = 0
  • V(X) = ∑₁ⁿ f_i ( x_i − E(X) )² = ( ∑₁ⁿ f_i x_i² ) − E(X)² = E(X²) − E(X)²
• espérance d'une somme E(X + Y) = E(X) + E(Y)
  • E(X + Y) = ∑_i ∑_j f_i f_j ( x_i + y_j ) = ∑_i ∑_j f_i f_j x_i + ∑_i ∑_j f_i f_j y_j
  • E(X + Y) = ∑_i f_i x_i ( ∑_j f_j ) + ∑_j f_j y_j ( ∑_i f_i ) = ∑_i f_i x_i (1) + ∑_j f_j y_j (1) = E(X) + E(Y)
• variance d'une somme V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 cov(X,Y)
  si les variables sont indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y)   ( car cov(X,Y) = 0 )
• loi de probabilité géométrique (discrète) : f(k) = q^k−1p
  • ce qui signifie : sur k tirages : (k−1) échecs (q^k−1) suivis de 1 succès (p)   ( p + q = 1 ou q = 1 − p )
  • on répète les tirages jusqu'à obtenir un succès, alors on s'arrête.
  • on vérifie que : ∑₁^∞ f_i = 1
    en effet : ∑₁ⁿ f_i = q⁰p + q¹p + q²p + ... qⁿ⁻¹p = p ( 1 − qⁿ ) / ( 1 − q ) = 1 − qⁿ
    ∑₁^∞ f_i = 1 − q^∞ = 1 − 0 = 1
  • rappels sur la limite des exponentielles vers +∞ :
    • si 0 ≤ q < 1 : q^∞ = 0 (converge)
    • si q = 1 : q^∞ = 1 (converge)
    • si q > 1 : q^∞ = +∞ (diverge)
  • préliminaire : fonction f(x) = ∑₁^∞ x^k = ( 1 − x^∞ ) / ( 1 − x ) = 1 / ( 1 − x )
    sa dérivée : f '(x) = ∑₁^∞ k x^{k − 1} = 1 / ( 1 − x )²
  • E(X) = ∑₁^∞ k q^k−1p = p F '(q) = p / ( 1 − q )² = p / p² = 1 / p
  • V(X) = ∑₁ⁿ f_i ( x_i − E(X) )² = ∑₁ⁿ f_i x_i² − (E(X))² = q / p²
• loi de probabilité exponentielle (continue) : f(x) = λ e^−λx
  • F(x) = ∫₀^x f(x) dx = [ − e^−λx ]₀^x = 1 − e^−λx
  • intégration par parties
  • E(X) = x = ∫₀^+∞ x f(x) dx = 1 / λ
  • V(X) = ∫₀^+∞ ( x − E(x) )² f(x) dx = ∫₀^+∞ x² f(x) dx − (E(x))² = 1 / &lambda²;