Cours du 22 Janvier 2011 Devoir maison n°14

• Exercice 1 :
  • Soit X une variable aléatoire uniforme sur [[ 1, 4 ]] : X(Ω) = { 1, 2, 3, 4 } et P(X = k) = 1 / 4.
    Calculer E(X), V(X) et σ(X). Tracer F_X
    • E(X) = ∑_k k P(X=k)
    • E(X) = (1/4) ( 1 + 2 + 3 + 4 ) = 10 / 4 = 5 / 2
    • V(X) = ∑_k k² P(X=k) − E(X)²
    • V(X) = (1/4) ( 1 + 4 + 9 + 16 ) − (100 / 16) = (30 / 4) − (100 / 16) = (120 − 100) / 16 = 20 / 16 = 5 / 4
    • σ(X) = √V(X) = √5 / 4
    • Probalités cumulées : F_X

      X	... 0	1	2	3	4	5 ...
      FX	0	1/4	2/4	3/4	4/4	1

  • Soit Y une variable aléatoire prenant les valeurs 3, 4, 5, 6.
    On sait que P(Y < 5) = 1 / 3, P(Y > 5) = 1 / 2 et P(Y = 3) = P(Y = 4).
    déterminer la loi de Y, puis E(Y), V(Y) et σ(Y).
    • P(Y < 5) = P(Y = 3) + P(Y = 4) = 1 / 3
    • P(Y > 5) = P(Y = 6) = 1 / 2
    • P(Y = 5) = 1 − P(Y = 3) − P(Y = 4) − P(Y = 6) = 1 − 1 / 3 − 1 / 2 = ( 6 − 2 − 1 ) / 6 = 1 / 6
    • P(Y = 3) + P(Y = 4) = 2 P(Y = 3) = 2 P(Y = 4) = 1 / 3   P(Y = 3) = P(Y = 4) = 1 / 6

      Y	3	4	5	6
      PY	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 2

    • E(Y) = (1/6) ( 3 + 4 + 5 ) + (1/2) 6 = ( 12 + 18 ) / 6 = 30 / 6 = 5
    • V(Y) = (1/6) ( 9 + 16 + 25 ) + (1/2) 36 − 25 = ( 50 + 108 − 150 ) / 6 = 8 / 6 = 4 / 3
    • σ(Y) = 2 / √3
  • On suppose que X et Y sont indépendantes et on pose Z = X + Y
    Déterminer la loi de Z, puis E(Z) et V(Z). Tracer F_Z
    • On effectue un tirage de X et un tirage de Y, puis on fait la somme des résultats pour avoir Z
      le nombre de cas élémentaires possibles et 4 × 4 = 16

      		X
      		P(X=1)=1/4	P(X=2)=1/4	P(X=3)=1/4	P(X=4)=1/4
      Y	P(Y=3)=1/6	1/24	1/24	1/24	1/24
      	P(Y=4)=1/6	1/24	1/24	1/24	1/24
      	P(Y=5)=1/6	1/24	1/24	1/24	1/24
      	P(Y=6)=1/2	1/8	1/8	1/8	1/8

      Lecture de Z = X + Y ( en diagonale ) dans la table :

      Z	4	5	6	7	8	9	10
      PZ	1/24	2/24	3/24	6/24	5/24	4/24	3/24

    • E(Z) = E(X) + E(Y) = 5 /2 + 5 = 15 / 2
    • Les variables X et Y étant indépendantes : V(Z) = V(X) + V(Y)
      V(Z) = 5 / 4 + 4 / 3 = ( 15 + 16 ) / 12 = 31 / 12
• Exercice 2 : Pierre et Juliette lance une pièce équilibrée à tour de rôle. C'est Pierre qui commence. Le premier joueur qui obtient face gagne la partie.
  • comprendre le problème : faire un arbre des premiers tirages
    • On remarque que Pierre effectue les lancers impairs et Juliette les lancers pairs
    • On remarque que l'arbre se répète tous les 2 lancers.
  • Qui, selon vous, a le plus de chances de gagner ?
    • au premier lancer Pierre a déjà une probabilité de gagner de 1/2, donc P(P) > 1/2 : C'est Pierre qui a le plus de chances de gagner.
  • On pose :
    P = "Pierre gagne"
    J = "Juliette gagne"
    F = "Le jeu se termine"
    A_n = "le n^ème lancer donne face"
    A'_n = "le n^ème lancer donne le premier face"
    • comprendre le problème : A'_n suit une loi géométrique
    • Exprimer A'_n en fonction des A_k. En déduire P(A'_n)
      • exemples :
        • A'₁ = A₁
        • A'₂ = A₁ INTER A₂
        • A'₃ = A₁ INTER A₂ INTER A₃
      • les (n−1) premiers tirages doivent avoir donné Pile et le dernier Face.
      • A'_n = INTER_k=1ⁿ⁻¹ A_k INTER A_n
      • P(A'_n) = ∏_k=1ⁿ⁻¹ P(A_k) × P(A_n) = (1/2)ⁿ
    • Exprimer F en fonction des A'_n. En déduire P(F). Que dire de F ?
      • Le jeu se termine quand Pierre ou Juliette gagne
      • F = ensemble des manières possibles de gagner
      • F = A'₁ UNION A'₂ ... = UNION_k=1^∞ A'_k
      • P(F) = 1 : F est certain
    • Exprimer P en fonction des A'_n. En déduire P(P)
      • P = UNION des A'_n impairs : 2k+1
      • P = UNION_k=0^∞ A'_2k+1
      • P(P) = ∑_k=0^∞ (1/2)^2k+1
      • Il faut mettre cette somme sous la forme d'une somme géométrique : a ∑_k=0^∞ x^k
      • P(P) = (1/2) ∑_k=0^∞ (1/4)^k = (1/2) × 1 / ( 1 − 1/4 ) = (1/2) × (4/3) = 2 / 3
    • Calculer P(J) de deux manières
      • P(J) = 1 − P(P) = 1 / 3
      • J = UNION des A'_n pairs : 2k
      • P(J) = ∑_k=1^∞ (1/2)^2k
      • P(J) = ∑_k=1^∞ (1/4)^k
      • on met en facteur (1/4) pour partir de k=0
        P(J) = (1/4) ∑_k=0^∞ (1/4)^k = 1/4 × 1 / ( 1 − 1/4 ) = (1/4) × (4/3) = 1 / 3
    • Pierre a 2 fois plus de chances de gagner que Juliette.
    • Si Pierre perd, il donne 2 € à Juliette. Si Juliette perd, elle donne 1 € à Pierre. Soit X le gain algébrique de Juliette. Déterminer l'éspérance de X. Juliette a-t-elle intérêt à jouer ?
      • tableau de X :

        Valeusr de X	+2	−1
        P(X)	P(J) = 1 / 3	P(P) = 2 / 3

      • Gain de Juliette : X
      • E(X) = 2 P(J) − 1 P(P) = 2 × 1 / 3 − 1 × (2/3) = 0
      • Le jeu est neutre (équilibré) : Juliette n'a ni intérêt à jouer, ni intérêt à ne pas jouer.

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