Loi géométrique (p)

• X suit une loi géométrique (p) :
  • Univers = tirages de Bernoulli indépendants jusqu'à obtenir un succès
        Ω = { S, ES, EES, EEES, EEEES, ... }
  • Proba.(Succès) pour 1 tirage = p     ( constant )
  • Proba.(Echec) pour 1 tirage = q = 1 − p     ( constant )
  • X = nombre de tirages pour obtenir un Succès ( X−1 échecs suivis d'un succès )
• Valeurs possibles : X(Univers) = { entiers de 1 à l'infini } = N^* = [[ 1 ; ∞ [[
  • Loi de répartition : P(X = k) = p q^k−1     [ (k − 1) Echecs suivis d'un Succès ]
• propriétés :
  • Espérance : E(X) = ∑₁^∞ k P(X=k) = ∑₁^∞ k p q^k−1
    E(X) = 1 / p
    exemple : lors d'un tirage, si la probabilité d'un succès est p = 0,1 = 1 / 10 :
        on atteindra la premier succès en moyenne au 10^ème tirage = 1 / p
  • Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]² = ∑₁^∞ k² p q^k−1 − [E(X)]²
    V(X) = q / p²
• démonstration de E(X) = 1 / p :
  • On part de la relation : ∑₁^∞ x^k = x / ( 1 − x )     ( Pour 0 < x < 1 )     que l'on dérive
  • Dérivation : ∑₁^∞ k x^k−1 = 1 / ( 1 − x )²
  • on remplace x par q : ∑₁^∞ k p q^k−1 = p / ( 1 − q )² = p / p² = 1 / p
• démonstration de V(X) = q / p² :
  • On part de la relation : ∑₁^∞ k x^k = x / ( 1 − x )²     que l'on dérive
• arbre des possibilités : avec P(S) = p et P(E) = 1 − p = q

  1	2	3	4	X	P(X)	F(X)
  → S (p)				1	p	p
  → E (q)	→ S (q p)			2	q p	1 − q2
  	→ E (q2)	→ S (q2 p)		3	q2 p	1 − q3
  		→ E (q3)	→ S (q3 p)	4	q3 p	1 − q4
  			→ E (q4)	> 4	q4	1

  F(X = n) = P(X ≤ n) = ∑_k=1^k=n q^k−1 p = (q¹⁻¹ − qⁿ⁺¹⁻¹) / (1 −q) p = 1 − qⁿ
      (1^er succès obtenu au plus tard au n^ème tirage)
  P(X > n) = 1 − P(X ≤ n) = qⁿ     (n échecs successifs)
  P(X > n+1) = q P(X > n)     (Echec au tirage n+1 sachant que le tirage n était la fin d'une série de n échecs)
• Rappel pour toutes les lois discrètes :
  • F(n) = P(X ≤ n) = ∑₀ⁿ P(X = k)
  • P(X = n) = F(n) − F(n−1)
  • 1 − F(n) = P(X > n) = ∑_n+1^∞ P(X = k)
  • P(X = n) = P(X > n−1) − P(X > n)
• autres lois :
  • Loi binomiale
  • Loi binomiale négative
  • Loi hyper géométrique

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