Loi binomiale négative (p, k)

• C'est une généralisation de la loi géométrique :
  X = n : nombre de tirages n pour obtenir k succès (au lieu de k=1 pour la loi géométrique)
• X suit une loi binomiale négative (p, k) :

  Numéro du tirage	1	2	3	4	5	...	n
  Résultat du tirage	S1	E	E	E	S2	...	Sk

  Première possibilité : (k−1) succès puis (n−k) échecs puis 1 succès

  Numéro du tirage	1	2	...	k−1	k	...	n−1	n
  Résultat du tirage	S1	S2	...	Sk−1	E	...	E	Sk
  Nombre de succès	1	2	...	k−1	k−1	...	k−1	k

• Probabilité de cet arrangement (k succès et n−k échecs) : p^k q^n−k
  nombre d'arrangements (k−1 succès et n−k échecs) possibles : ( k−1 parmi n−1 )
  ( Le dernier succès n'a que la place n possible )
  d'où : P(X=k) = (k−1 parmi n−1) p^k q^n−k
• propriétés : E(X) et V(X) = k fois E et V de la loi géométrique
  • Espérance : E(X) = ∑_k^∞ n P(X=n)
    E(X) = k / p
  • Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]²
    V(X) = k q / p²
• Pour toutes les lois discrètes :
  • F(n) = P(X ≤ n) = ∑₀ⁿ P(X = k)
  • P(X = n) = F(n) − F(n−1)
  • 1 − F(n) = P(X > n) = ∑_n+1^∞ P(X = k)
  • P(X = n) = P(X > n−1) − P(X > n)
• autres lois :
  • Loi géométrique
  • Loi binomiale
  • Loi hyper géométrique

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