Proba. Loi binomiale B(n, p)

• Cours de Costantini
• X suit une Loi binomiale B(n, p) ( binôme porte un accent circonflexe, mais pas binomiale )
  • Univers = { n tirages indépendants d'une variable de Bernoulli qui peut être un Succès ou un Echec }
        Ω(n=3) = { SSS, SSE, SES, SEE, ESS, ESE, EES, EEE }
  • Lors d'un tirage, la probabilité P(Succès) = p     (constant)
  • Lors d'un tirage, la probabilité P(Echec) = 1 − p = q     (constant)
  • X = nombre de Succès obtenus lors de n tirages.
• Valeurs possibles : X(Univers) = { 0; 1; 2; ... ; n } = [[ 0 ; n ]]
  • probabilité( k Succès suivis de (n − k) Echecs ) = p^k q^n−k
  • nombre de permutations ( k Succès, (n − k) Echecs ) = (ⁿ_k)     ( k parmi n )
    avec (ⁿ_k) = n! / [ k! (n − k)! ] = C_n^k
  • Loi de répartition : P(X = k) = (ⁿ_k) p^k q^n−k   ( avec 0 ≤ k ≤ n )
• Propriétés :
  • Espérance de 1 tirage de Bernoulli(p) : E(x₁) = 0 P(0) + 1 P(1) = p
  • Espérance de X : E(X) = n p ( somme de n tirages indépendants )
    E(X) = ∑₀ⁿ k P(X=k)
  • Variance de 1 tirage de Bernoulli(p) : V(x₁) = 0² P(0) + 1² P(1) − E(x₁)² = p − p² = p ( 1 − p ) = p q
  • Variance de X : V(X) = n p q ( somme de n tirages indépendants )
    V(X) = ∑₀ⁿ k² P(X=k) − [E(X)]²
  • Stabilité Additive : X → B(n ; p) et Y → B(m ; p) => S = X + Y → B(n+m ; p)
• démonstration de E(X) = n p :
  • E(X) = ∑₀ⁿ k P(X=k) = ∑₀ⁿ k (ⁿ_k) p^k q^n−k ( à évaluer )
  • recherche d'une expression pour cette somme :
  • on connaît : ( a + b )ⁿ = ∑₀ⁿ (ⁿ_k) a^k b^n−k
  • pour faire apparaître k, on remplace a par la variable x et en dérivant x^k, on obtiendra k x^k−1
  • (x + q)ⁿ = ∑₀ⁿ (ⁿ_k) x^k q^n−k
  • en dérivant par rapport à x :
  • n (x + q)ⁿ⁻¹ = ∑₀ⁿ (ⁿ_k) k x^k−1 q^n−k
  • en multipliant par x :
  • n x (x + q)ⁿ⁻¹ = ∑₀ⁿ (ⁿ_k) k x^k q^n−k
  • en remplaçant x par p :
  • n p (p + q)ⁿ⁻¹ = ∑₀ⁿ (ⁿ_k) k p^k q^n−k = E(X)
  • sachant que (p + q) = 1 :
  • n p = E(X)
• démonstration de V(X) = n p q :
  • V(X) = ∑₀ⁿ k ² P(X=k) − E(X)² = ∑₀ⁿ k ² (ⁿ_k) p^k q^n−k − (n p)² ( à évaluer )
  • la démonstration est similaire en partant de : n x (x + q)ⁿ⁻¹ = ∑₀ⁿ (ⁿ_k) k x^k q^n−k
• arbre des possibilités pour n = 3 : avec P(S) = p et P(E) = 1 − p = q

  1	2	3	X	Proba.
  → S	→ S	→ S	3	p3
  		→ E	2	q p2
  	→ E	→ S	2	q p2
  		→ E	1	q2 p
  → E	→ S	→ S	2	q p2
  		→ E	1	q2 p
  	→ E	→ S	1	q2 p
  		→ E	0	q3

• autres lois :
  • Loi géométrique
  • Loi binomiale négative
  • Loi hyper géométrique

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