Loi hyper-géométrique (n, p, A)

• X suit une loi hyper-géométrique (n, p, A) :
  • Dans une urne contenant A boules :
    dont pA boules gagnantes et qA boules perdantes (q = 1 − p)
  • Univers = { tirages simultanés de n boules : n ≤ A }, ( donc sans remise )
  • variable aléatoire : X = nombre de boules gagnantes
• X(Univers) = { entiers de 0 à n } ;
  • loi de répartition :
    p(X=k) = C_pA^k × C_qA^n−k / C_Aⁿ = (^pA_k) × (^qA_n−k) / (^A_n)
  • boules gagnantes : k parmi pA
  • boules perdantes : (n − k) parmi qA
  • nombre de permutations totales : n boules parmi A
• propriétés :
  • E(X) = n p
  • V(X) = n p q (A−n)/(A−1)
• Comparaison des lois binomiale et hyper-géométrique :
  • Loi binomiale : tirage avec remise ( P(succès pour 1 tirage) = p (constante) )
  • Loi hyper-géométrique : tirage sans remise
  • espérances identiques : E(X) = n p
  • variances différentes : coefficient supplémentaire (A−n)/(A−1)
• autres lois :
  • Loi binomiale
  • Loi géométrique
  • Loi binomiale négative

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