Cours du 30 Avril 2011

• Concours commun ESSEC, compte-rendus des épreuves :   écrites   de langues   orales
  Permet de savoir ce qu'attendent les correcteurs, et les plus grosses erreurs commises par les élèves.
• Intégrales :
  • derivées : Pour intégrer une fonction, il faut connaître les dérivées : on détermine la primitive par essais et erreurs
  • primitives
  • intégration par parties : ∫ u v' dx : on doit intégrer un produit dont on va dériver un terme (u) et intégrer un terme (v')
• Probabilités continues : Soit X une Variable Aléatoire Réelle dont la densité de probabilité est P(x)
  • Une densité de probabilité possède 2 propriétés :
    • P(x) ≥ 0
    • ∫_−∞^+∞ P(x) dx = 1
  • Espérance E(X) = ∫_−∞^+∞ x P(x) dx
  • Variance V(X) = ∫_−∞^+∞ ( x − E(X) )² P(x) dx = ∫_−∞^+∞ x² P(x) dx − E(X)²
  • Moment centré d'ordre n : μ_n = ∫_−∞^+∞ ( x − E(X) )ⁿ P(x) dx
    donc : V(X) = μ₂     et aussi : μ₁ = 0
• Probabilité constante sur [ 0 ; 1 ] (égale à 1) et nulle ailleurs :
  • Vérification que c'est une densité de probabilité : P(x) = 1 sur [ 0 ; 1 ]
    • P(x) ≥ 0
    • ∫_−∞^+∞ P(x) dx = ∫_−∞⁰ P(x) dx + ∫₀¹ P(x) dx + ∫₁^+∞ P(x) dx = 0 + [ x ]₀¹ + 0 = 1
  • Espérance : E(X) = ∫_−∞^+∞ x P(x) dx = ∫₀¹ x P(x) dx = ∫₀¹ x dx = [ x² / 2 ]₀¹ = 1/2
  • Variance : V(X) = ∫_−∞^+∞ ( x − 1/2 )² P(x) dx = ∫₀¹ ( x − 1/2 )² dx
    • On pose : u = x − 1/2
    • du = u' dx = dx = dx
    • u(x=0) = −1/2     et u(x=1) = 1/2
    • V(X) = ∫_−1/2^1/2 u² du = [ u³ / 3 ]_−1/2^1/2 = (1/3) [ (1/2)³ − (−1/2)³ ] = (1/3) (1/2)² = 1/12
  • Moment centré d'ordre n : μ_n(X) = ∫_−∞^+∞ ( x − 1/2 )ⁿ P(x) dx = ∫₀¹ ( x − 1/2 )ⁿ dx
    • On pose : u = x − 1/2
    • du = u' dx = dx = dx
    • u(x=0) = −1/2     et u(x=1) = 1/2
    • μ_n(X) = ∫_−1/2^1/2 u² du = [ uⁿ⁺¹ / (n+1) ]_−1/2^1/2 = (1/(n+1)) [ (1/2)ⁿ⁺¹ − (−1/2)ⁿ⁺¹ ]
    • Cas n pair n = 2 k :
      • μ_n(X) = 1 / (n+1) [ (1/2)^2k+1 − (−1/2)^2k+1 ]
      • μ_n(X) = 1 / (n+1) [ (1/2)^2k+1 + (1/2)^2k+1 ]
      • μ_n(X) = 1 / (n+1) [ 2 (1/2)ⁿ⁺¹ ] = 1 / [ (n+1) 2ⁿ ]
    • Cas n impair n = 2 k + 1 :
      • μ_n(X) = 1 / (n+1) [ (1/2)^2k+2 − (−1/2)^2k+2 ]
      • μ_n(X) = 1 / (n+1) [ (1/2)^2k+2 − (1/2)^2k+2 ]
      • μ_n(X) = 1 / (n+1) [ 0 ] = 0
• Algèbre linéaire :
  • Un espace vectoriel E sur R possède 2 lois : une loi interne "+" et une loi externe "."
    • x₁ et x₂ appartiennent à E et α appartient à R =>
      • x₁ + x₂ appartient à E
      • α . x₁ appartient à E
    • toute combinaison linéaire ∑_i α_i x_i appartient à E
  • Base = famille libre de n vecteurs { e₁, e₂, ..., e_n } si :
    • les n vecteurs sont indépendants : on ne peut pas exprimer un des n vecteurs en fonction des (n−1) autres
    • ∑_i=1ⁱ⁼ⁿ α_i e_i = 0 => tous les α_i = 0
    • Tous les vecteurs formés à partir de cette famille forment un espace vectoriel de dimension n
  • Application linéaire f : si l'on connaît les transformés des n vecteurs e_i de la base B,
    on en déduit le tranformé de n'importe quel vecteur x de l'espace E
    • x = ∑₁ⁿ x_i e_i
    • f(x) = f( ∑₁ⁿ x_i e_i ) = ∑₁ⁿ x_i f( e_i )
    • D'où la matrice A formée des vecteurs colonnes f( e_i ) (dans la base B)
    • si l'on choisit de représenter f(x) dans une autre base, la matrice sera différente.

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