Chute avec frottement

• Voir Chute libre
• Chute 1D avec frottement dans un fluide : ( avec l'axe Ox dirigé vers le bas )
  • 3 forces : le Poids, la poussée d'Archimède, le frottement
  • état initial : ( t=0, x=x₀, dx/dt=v₀ )
  • Accélération : m a = m g − m_F g − k v
    a(t) = − (k/m) v(t) + g ( 1 − m_F / m )     Mais dépend de v(t)
  • Vitesse :
    • équation différentielle en v : dv/dt + (k/m) v = g ( 1 − m_F / m )
    • solution de l'équation sans second membre : dv/dt + (k/m) v = dv/dt + v/τ = 0
      v(t) = A e^{− t / τ}
    • échelle de temps du mouvement : τ = m / k
    • solution particulière de l'équation avec second membre :
      v_L constante ( vitesse limite quand t → ∞ ou t >> τ )
    • (k/m) v_L = g ( 1 − m_F / m )
    • v_L = g ( m − m_F ) / k
    • solution générale : v(t) = A e^{− t / τ} + v_L
    • Détermination de la constante : par la condition initiale v₀ = A e^{− 0 / τ} + v_L
      v₀ = A + v_L
    • v(t) = ( v₀ − v_L ) e^{− t / τ} + v_L
    • a(t) = dv/dt = ( v_L − v₀ ) e^{− t / τ} / τ
  • Position : x(t) − x(0) = ∫₀^t v(t) dt
    • ∫ e^{− t / τ} dt = − τ e^{− t / τ}
    • x(t) = ( v_L − v₀ ) τ e^{− t / τ} + v_L t + x₀
• Chute 2D avec frottement dans un fluide : Axe Ox horizontal, axe Oy vertical, dirigé vers le haut
  • dans un fluide : 3 forces : le Poids, la poussée d'Archimède, le frottement
  • état initial : ( t=0, x=x₀, y=y₀, dx/dt=v₀ cos α, dy/dt=v₀ sin α )
  • Accélération : m a = m g − m_F g − k v
    a_x(t) = − (k/m) v_x(t)     Mais dépend de v(t)
    a_y(t) = − (k/m) v_y(t) − g ( 1 − m_F / m )     Mais dépend de v(t)
  • Vitesse :
    • équation différentielle en v :
      dv_x/dt + (k/m) v_x = 0
      dv_y/dt + (k/m) v_y = g ( 1 − m_F / m )
    • solution générale : ( voir chute 1D )
      v_x = A_x e^{− t / τ}
      v_y = A_y e^{− t / τ} + v_L
    • détermination des constantes A_x et A_y à t = 0
      v₀ cos α = A_x
      v₀ sin α = A_y + v_L
    • solution complète :
      v_x(t) = v₀ cos(α) e^{− t / τ}
      v_y(t) = ( v₀ sin(α) − v_L ) e^{− t / τ} + v_L
  • Position : r(t) − r(0) = ∫₀^t v(t) dt
    • x(t) = − τ v₀ cos(α) e^{− t / τ} + x₀
    • y(t) = τ ( v_L − v₀ sin(α) ) e^{− t / τ} + v_L t + y₀
• Chute 3D avec frottement :
  • Le mouvement est 2D dans le plan vertical (contenant g) passant par le point de départ (x₀, y₀, z₀)
    et contenant le vecteur vitesse initiale v₀
  • Les forces étant verticales ou proportionnelles à la vitesse, elles ne peuvent pas faire sortir la masse de ce plan.

retour aux menus :   cours du 1er Mai 2011   cours   prépa kiné