Chute libre

• Voir aussi Chute avec frottement
• Chute libre 1D : selon la verticale ( avec l'axe Ox dirigé vers le bas )
  • dans le vide : une seule force : le Poids
  • état initial : ( t=0, x=x₀, dx/dt=v₀ )
  • Accélération : m a = m g
    a(t) = g
  • Vitesse : v(t) − v(0) = ∫₀^t a dt = g t
    v(t) = g t + v₀
  • Position : x(t) − x(0) = ∫₀^t v(t) dt
    x(t) = g t² / 2 + v₀ t + x₀
  • Chute libre 1D : selon la verticale ( avec l'axe Ox dirigé vers le haut )
    • a(t) = −g ; v(t) = −g t + v₀ ; x(t) = −g t² / 2 + v₀ t + x₀
    • hauteur maximale atteinte (flèche) : v(t) = 0
      • méthode 1 : au temps : t = v₀ / g
        x(v₀/g) = −g v₀² / (2 g²) + v₀² / g + x₀ = v₀² / (2 g) + x₀
      • autre méthode : E_méca = (1/2) m v₀² + m g x₀ = m g h_max
          =>   h_max = (1/2) v₀² / g + x₀
• Chute libre 2D : Axe Ox horizontal, axe Oy vertical, dirigé vers le haut
  • dans le vide : une seule force : le Poids
  • état initial : ( t=0, x=x₀, y=y₀, dx/dt=v₀ cos α, dy/dt=v₀ sin α )
  • Accélération : m a = − m g
    a_x(t) = 0
    a_y(t) = − g
  • Vitesse : v(t) − v(0) = ∫₀^t a dt
    v_x(t) = v₀ cos α
    v_y(t) = − g t + v₀ sin α
  • Position : r(t) − r(0) = ∫₀^t v(t) dt
    x(t) = v₀ cos(α) t + x₀
    y(t) = − g t² / 2 + v₀ sin(α) t + y₀
  • Trajectoire : y(x) ( élimination de t par substitution )
    • t = ( x − x₀ ) / ( v₀ cos α )
    • y(x) = − g ( x − x₀ )² / ( v₀ cos α )² / 2 + v₀ sin(α) ( x − x₀ ) / ( v₀ cos α ) + y₀
    • y(x) = − g ( x − x₀ )² / [ 2 ( v₀ cos α )² ] + tan(α) ( x − x₀ ) + y₀
    • hauteur maximale atteinte : v_y(t) = 0
      • méthode 1 : au temps : t = v₀ sin(α) / g
      • y(t) = − g v₀² sin²(α) / ( g² 2 ) + v₀ sin(α) v₀ sin(α) / g + y₀
      • y(t) = v₀² sin²(α) / ( 2 g ) + y₀
      • autre méthode : E_méca = (1/2) m v₀² + m g y₀ = (1/2) m v₀² cos²(α) + m g h_max
      • h_max = (1/2) v₀² ( 1 − cos²(α) ) / g + y₀ = (1/2) v₀² sin²(α) / g + y₀
        maximum pour sin(α) = 1, soit α = π/2 = 90°
    • portée maximale : point de retombée ( à y(x) = y₀ par exemple )
      • y(x) − y₀ = − g ( x − x₀ )² / [ 2 ( v₀ cos α )² ] + tan(α) ( x − x₀ ) = 0
      • − g ( x − x₀ )² / [ 2 v₀² cos α ] + sin(α) ( x − x₀ ) = 0
      • ( x − x₀ ) [ − g ( x − x₀ ) / ( 2 v₀² cos α ) + sin(α) ] = 0
      • solution 1 : x − x₀ = 0 : x = x₀ (point de départ)
      • solution 2 : x − x₀ = sin(α) 2 v₀² cos(α) / g = v₀² sin(2 α) / g
        car : sin(2 α) = 2 sin(α) cos(α)
        x_max = v₀² sin(2 α) / g + x₀
        maximum pour sin(2 α) = 1, soit 2 α = π/2, donc : α = π/4 = 45°
        remarque : x_max(α) = x_max(π/2 − α) car : sin(2 α) = sin(2 (π/2 − α)) = sin(π − 2α)
• Chute libre 3D (ou avec frottement) :
  • Le mouvement est 2D dans le plan vertical (contenant g) passant par le point de départ (x₀, y₀, z₀)
    et contenant le vecteur vitesse initiale v₀
  • L'accélération étant verticale, et la vitesse initiale étant dans ce plan, elle ne peut pas faire sortir la masse de ce plan vertical.

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