Circuit R C

• Circuit formé de { E, R, C }
  • E = 0 : Décharge du condensateur ( initialement : t=0 q(t)=q₀ )
  • E ≠ 0 : Charge du condensateur ( initialement : t=0 q(t)=0 )
  • Pour R, on prend la somme de toutes les résistances du circuit. ( en particulier la résistance du générateur )
• Somme des tensions des récepteurs :
  • U_C = q / C
  • U_R = R i = R dq/dt
• Equation du circuit : E = q / C + R i = q / C + R dq/dt
  • Equation sans E : dq/dt + (1/(RC)) q = 0
    • dq/dt + q / τ = 0
    • τ = R C   ( τ a la dimension d'un temps )
    • => q(t) = A e^{− t / τ}
  • Solution constante ( dq/dt = 0 ) : E = q / C   Soit : q = E C
  • Solution générale : q(t) = E C + A e^{− t / τ}
• Solution complète ( détermination de la constante A ) :
  • Charge du condensateur : à t = 0, le condensateur est déchargé : q(0) = 0
    • 0 = E C + A e⁰ = E C + A   Soit : A = − E C
    • q(t) = E C ( 1 − e^{− t / τ} )
    • propriétés de la courbe :
      • q(t) part de 0, puis monte jusqu'à q_∞ = E C
      • asymptote horizontale : q_∞ = E C   ( limite q(t) = E C quand t → +∞ )
      • la tangente à la courbe en t=0 coupe l'asymptote en : t = τ
      • au temps t = τ, C s'est chargé à 63% : q(τ) = 0,63 q_∞
    • Un condensateur complètement chargé aura la charge : q_∞ = E C
  • Décharge du condensateur ( E = 0 ) : à t = 0, le condensateur est chargé : q(0) = q₀
    • q₀ = A e⁰ = A   Soit : A = q₀
    • q(t) = q₀ e^{− t / τ}
    • propriétés de la courbe :
      • q(t) part de q₀, puis descend jusqu'à q_∞ = 0
      • asymptote horizontale : q_∞ = 0   ( limite q(t) = 0 quand t → +∞ )
      • la tangente à la courbe en t=0 coupe l'asymptote en : t = τ
      • au temps t = τ, C s'est déchargé à 63% : q(τ) = 0,37 q₀
• autres grandeurs : ( avec τ = R C )
  • i(t) = dq(t)/dt = − E C e^{− t / τ} ( − 1 / τ ) = ( E C / (R C) ) e^{− t / τ} = ( E / R ) e^{− t / τ}
  • u_R(t) = R i(t) = E e^{− t / τ}
  • u_C(t) = q(t)/C = E ( 1 − e^{− t / τ} )
• bilan énergétique de la charge du condensateur :
  • l'équation : E = u_C + u_R   devient :
    ∫ E i dt = ∫ u_C i dt + ∫ u_R i dt
  • Energie reçue par le générateur : W_E = ∫ E i dt
    W_E = [ E ( E / R ) e^{− t / τ} / ( − 1 / τ ) ]₀^+∞ = [ ( − E² τ / R ) e^{− t / τ} ]₀^+∞
    W_E = E² R C / R = E² C = E q_∞
  • Energie reçue ( et stockée ) par le condensateur : W_C = ∫ u_C i dt
    W_C = ∫ q(t)/C dq(t)/dt dt = (1/C) ∫ q dq = (1/C) q_∞² / 2 = q_∞² / ( 2 C ) = E² C / 2 = E q_∞ / 2 = W_E / 2
  • Energie reçue ( et dissipée ) par la résistance : W_R = ∫ u_R i dt = ∫ R i² dt
    W_R = [ R ( E / R )² e^{− 2 t / τ} / (−2/τ) ]₀^+∞ = E² τ / ( 2 R ) [ − 0 + 1 ]
    W_R = E² C / 2 = E q_∞ / 2 = q_∞² / ( 2 C ) = W_E / 2
  • L'énergie fournie par le générateur ( E q_∞ ) se répartit par moitiés entre la résistance et le condensateur.

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