Circuit R L

• Circuit formé de { E, R, L }
  • E ≠ 0 : Charge de l'inductance ( initialement : t=0 i(t)=0 )
  • Pour R, on prend la somme de toutes les résistances du circuit. ( en particulier la résistance du générateur )
• Somme des tensions des récepteurs :
  • U_L = L di/dt
  • U_R = R i
• Equation du circuit : E = L di/dt + R i
  • Equation sans E : L di/dt + R i = 0
    • di/dt + i / τ = 0
    • τ = L / R   ( τ a la dimension d'un temps )
    • => i(t) = A e^{− t / τ}
  • Solution constante ( di/dt = 0 ) : E = R i   Soit : i = E / R
  • Solution générale : q(t) = E / R + A e^{− t / τ}
• Solution complète ( détermination de la constante A ) :
  • Charge du condensateur : à t = 0, l'inductance maintient le courant nul : i(0) = 0
    • 0 = E / R + A e⁰ = E / R + A   Soit : A = − E / R
    • i(t) = ( E / R ) ( 1 − e^{− t / τ} )
    • propriétés de la courbe :
      • i(t) part de 0, puis monte jusqu'à i_∞ = E / R
      • asymptote horizontale : i_∞ = E / R   ( limite i(t) = E / R quand t → +∞ )
      • la tangente à la courbe en t=0 coupe l'asymptote en : t = τ
      • au temps t = τ, L s'est chargée à 63% : i(τ) = 0,63 i_∞
    • Une inductance complètement chargée aura le courant : i_∞ = E / R
• autres grandeurs : ( avec τ = L / R )
  • u_R(t) = R i(t) = E ( 1 − e^{− t / τ} )
  • u_L(t) = L di/dt = (L E / (R τ)) e^{− t / τ} = E e^{− t / τ}
  • Remarque : u_L(t) + u_R(t) = E
• bilan énergétique de la charge de l'inductance :
  • l'équation : E = u_L + u_R   devient :
    ∫ E i dt = ∫ u_L i dt + ∫ u_R i dt
  • Energie reçue par le générateur : W_E = ∫ E i dt
    W_E = E ( E / R ) [ t − e^{− t / τ} / ( − 1 / τ ) ]₀^+∞ = ( E² / R ) [ t + τ e^{− t / τ} ]₀^+∞
    W_E = ∞
    L'énergie est infinie car le régime final est le générateur E qui débite dans une résistance R ( donc i = E / R )
  • Energie reçue ( et stockée ) par l'inductance : W_L = ∫ u_L i dt
    • W_L = ∫ E e^{− t / τ} ( E / R ) ( 1 − e^{− t / τ} ) dt = ( E² / R ) ∫ e^{− t / τ} − e^{− 2 t / τ} dt
    • W_L = ( E² / R ) [ e^{− t / τ} / (−1/τ) − e^{− 2 t / τ} / (−2/τ) ]₀^+∞
    • W_L = ( E² / R ) τ [ − e^{− t / τ} + e^{− 2 t / τ} / 2 ]₀^+∞
    • W_L = ( E² / R ) τ [ 1 − 1 / 2 ]
    • W_L = ( E² / R ) ( L / R ) / 2 = ( E² / R² ) L / 2
    • W_L = L i_∞ / 2
  • Energie reçue ( et dissipée ) par la résistance : W_R = ∞

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