Mécanique Saut à l'élastique (exercice 7)

• exercice 7 : le sauteur à l'élastique depuis un pont (z = h)
  • longueur de l'élastique au repos : L₀ = 20 m
  • raideur de l'élastique : k = 60 N.m⁻¹
  • poids du sauteur : m = 60 kg
  • Question : hauteur minimale du pont ( pour ne pas toucher le sol ) ?
     
• comprendre le problème : axe Oz vers le haut (faire un schéma)
  • phase 1 : z diminue de h → h − L₀ : l'élastique ne fait rien ( il est détendu )
    • forces : − m g = m a   ( chute libre )
    • Energie mécanique : E_m = m g z + 1/2 m v²
  • phase 2 : z diminue de h − L₀ → 0 : l'élastique se comporte comme un ressort :
    • forces : − m g − k ( L − L₀ ) = m a
    • Energie mécanique : E_m = m g z + 1/2 k x² + 1/2 m v²
          avec x = L − L₀   ( l'allongement de l'élastique ) :
    • faire un schéma pour traduire x et L en z : z = h − L
  • Limite du choc avec le sol : vitesse nulle en arrivant au sol.
    Le sauteur repart vers le haut (et remonte juqu'au pont puisqu'il n'y a pas de frottement)
  • Cours : pourquoi E_pot(ressort) = 1/2 k x² ?
    • W = ∫ F dx = ∫ − k x dx
    • E_pot = − W = − ∫ − k x dx = k x² / 2
      
       
• Pas de frottement => conservation de l'énergie => utilisation du théorème de l'énergie mécanique
  • phase 1 : h → h − L₀ :
    • état initial : z = h ; v = 0 => E_m = m g h
    • état final : z = h − L₀ => E_m = m g ( h − L₀ ) + 1/2 m v²
    • D'où : 1/2 m v² = m g h − m g ( h − L₀ )
      Soit : 1/2 m v² = m g L₀     ( chute libre de hauteur L₀ )
  • phase 2 : h − L₀ → 0 : l'élastique se comporte comme un ressort :
    • état initial : z = h − L₀ ; 1/2 m v² = m g L₀
    • état final : z = 0 ; v = 0 => E_m = 1/2 k x²
          avec l'allongement de l'élastique : x = L − L₀ = h − L₀
    • D'où : E_m = m g h = 1/2 k (h − L₀)²
  • Développement du carré : 2 m g h / k = h² − 2 h L₀ + L₀²
    équation du second degré : h² − ( 2 L₀ + 2 m g / k ) h + L₀² = 0
    h² − ( 2 × 20 + 2 × 60 × 9,8 / 60 ) h + 400 = 0
    h² − ( 40 + 20 ) h + 400 = 0
    h² − 60 h + 400 = 0
    Δ = b² − 4 a c = 3600 − 4 × 400 = 3600 − 1600 = 2000
    h = ( 60 ± √2000 ) / 2
    Calcul de √2000 à la main :
    • √2000 ≈ 40   (40²=1600)
    • x = ( 40 + 2000 / 40 ) / 2 = 45
    • x = ( 45 + 2000 / 45 ) / 2 = 44,7
    • x = ( 44,7 + 2000 / 44,7 ) / 2 = 44,7
    h = ( 60 + 44,7 ) / 2 = 52
      l'autre solution h = ( 60 − 44,7 ) / 2 = 7,7 soit h(pont) = 8 < L₀ n'a pas de sens physique.
  • Pour obtenir une équation plus simple à résoudre : changement de variable : x = h − L₀ ⇒ h = x + L₀
    E_m = m g ( x + L₀ ) = 1/2 k x²
    600 ( x + 20 ) = 30 x²
    x² − 20 x − 400 = 0
    Δ = b² − 4 a c = 400 + 1600 = 2000 = 44,7²
    x = ( 20 + 44,7) / 2 = 32,3
      l'autre solution x = ( 20 − 44,7) / 2 = − 12 < 0 ne correspond pas au problème ( élastique détendu )
    h = 32 + 20 = 52
     
• Que signifie la seconde solution à l'équation du second degré ?
  • Au début de la phase 2 : Si l'on remplace l'élastique par un ressort, le sauteur ne remontera pas jusqu'au pont.
    car le ressort continue d'agir quand z > h − L₀
    contrairement à l'élastique qui redevient détendu.
  • A la fin de la phase 2, le sauteur est revenu à z₀ = h − L₀, avec la vitesse 1/2 m v² = m h L₀ dirigée vers le haut.
  • Cette vitesse va être convertie en :
    • énergie potentielle de gravitation : m g ( z − z₀ )
    • énergie potentielle du ressort : 1/2 k ( L − L₀ )²   quel que soit le signe de (L−L₀)
    • jusqu'à atteindre une vitesse nulle à une hauteur z = 52 − 8 = 44.
  • les solutions de l'équation = distance de la position ( v = 0 ) au pont.
  • cette seconde solution est en dehors de l'hypothèse de tension de l'élastique ( élastique détendu pour : x < 0   soit : L < L₀ )

retour au menu :   cours du 20 Mars 2011   cours   prépa kiné