Mécanique Pendule Tension

• énoncé :
  • bille écartée d'un angle α₀ de sa position d'équilibre
  • Question : Tension du fil quand elle passe à sa position d'équilibre ?
• Comprendre le problème :
  • Quand l'énoncé dit que la bille passe par la position d'équilibre,
        c'est qu'elle passe au point bas (α = 0), mais ce n'est pas un état d'équilibre.
  • comme il n'y a pas de frottements, le pendule va osciller indéfiniment.
  • l'énergie (m g h) apportée lors du déplacement en α₀ va rester dans le système
        tantôt sous forme d'énergie potentielle tantôt sous forme d'énergie cinétique.
• Il n'y a pas de frottements => appliquer le théorème de l'énergie mécanique
  • état initial : bille écartée de l'angle alpha0, sans vitesse :
    E_meca = m g h₀ = m g L ( 1 − cos(α₀) )
  • état quelconque : E_meca = m g h + 1/2 m v²
  • état bas : h = 0, v maximum, alors : E_meca = 1/2 m v²
  • D'où : E_meca = m g L ( 1 − cos(α₀) ) = 1/2 m v²
  • bilan des forces : T − m g = m a = m v² / L
  • d'où : T = m g + m v² / L
  • soit : T = m g ( 3 − 2 cos(α₀) )
• Equation du mouvement : m a = P + T
  • Données : m, g     Inconnues : T, v(t), x(t), α(t)
  • avec T > 0 si orienté vers le point l'attache du pendule.
  • Suivi du cercle : T = m g cos(α)
  • Selon Ox : m a_x = − T sin(α)
  • Selon Oy : m a_y = − m g + T cos(α)
  • Théorème de l'énergie mécanique : 1/2 m v² + m g L ( 1 − cos(α) ) = E₀
  • Ce système d'équation n'a pas de solution simple
    => On ne peut utiliser que le théorème de l'énergie mécanique.
• Approximation des petits angles : α = sin(α) = tan(α)     et : cos(α) = 1
  • Suivi du cercle : T = m g
  • Selon Ox : m a_x = − T α
  • Selon Oy : m a_y = − m g + T = 0
  • Mouvement selon Ox : m d²x/dt² + m g α = 0
  • x = L α   =>   L d²α/dt² + g α = 0
  • α = α_max cos( ω t + φ )   avec ω² = g / L
  • T = 2 π / ω = 2 π √ L / g  

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