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• Reconnaître une suite arithmétique :
  • formulation explicite : u_n = u₀ + n r   où r est un réel constant appelé raison
  • formulation par récurrence : u₀ donné ; u_n+1 = u_n + r
  • cette suite diverge quand n → ∞
  • somme d'une suite arithmétique : ∑₁ⁿ u_k = u₀ ∑ 1 + r ∑ k = n u₀ + r n (n+1) / 2
    ∑₀ⁿ u_k = (n+1) u₀ + r n (n+1) / 2
• Reconnaître une suite géométrique :
  • formulation explicite : u_n = u₀ qⁿ   où q est un réel constant appelé raison
  • formulation par récurrence : u₀ donné ; u_n+1 = q u_n
  • comportement de qⁿ pour n → ∞ :

    q	−∞		−1		0		1		∞
    limite(q∞)	±∞		±1	0			1	∞
    	diverge			converge				diverge
    variation	en oscillant				0	en décroissant	1	en croissant

  • somme d'une suite géométrique : ∑₀ⁿ u₀ q^k = u₀ ( qⁿ⁺¹ − 1 ) / ( q − 1 )
• Reconnaître une suite arithmético-géométrique :
  • formulation par récurrence : u₀ donné ; u_n+1 = a u_n + b
  • formulation explicite : u_n = aⁿu₀ + b ( 1 − aⁿ ) / ( 1 − a )
  • converge vers b / ( 1 − a ) si : | a | < 1
• Reconnaître une suite linéaire :
  • formulation par récurrence : u₀ et u₁ donnés ; u_n+2 = a u_n+1 + b u_n
    avec Δ = a² + 4 b > 0
    Soient r₁ et r₂ les racines de : r² − a r − b = 0
  • formulation explicite : u_n = α r₁ⁿ + β r₂ⁿ
    où α et β sont déterminés par les termes initiaux u₀ et u₁ :
    • u₀ = α + β
    • u₁ = α r₁ + β r₂
  • converge vers 0 si | r₁ | < 1 et | r₂ | < 1
• Limites possibles pour la suite générale u_n+1 = f(u_n) :
  • pour une suite définie par récurrence u_n+1 = f(u_n), si la limite L existe, elle vérifie nécessairement L = f(L) ( car L = u_∞ )
    ( l'équation L = f(L) peut avoir plusieurs solutions )
  • si l'équation L = f(L) n'a pas de solution : la suite ne peut pas converger (elle diverge)
  • si l'on a démontré que la suite convergeait, elle converge vers une des limites L possibles.
  • bien que L existe, la suite peut diverger, notamment selon la valeur de u₀
• Existence de racines à l'équation L = f(L) : on étudie la fonction g(x) = f(x) − x
  • On prouve qu'elle coupe l'axe Ox ( y = 0 ) par application du théorème de la bijection :
  • Si g est strictement croissante sur ] a ; b [ ( g'(x) > 0 ) et si il existe g(a) < 0 et g(b) > 0 ;
    alors, il existe une valeur c unique : a < c < b telle que g(c) = 0
  • Si g est strictement décroissante sur ] a ; b [ ( g'(x) < 0 ) et si il existe g(a) > 0 et g(b) < 0 ;
    alors, il existe une valeur c unique : a < c < b telle que g(c) = 0
• Critères de convergence :
  • une suite décroissante et minorée converge (vers une limite)
  • une suite croissante et majorée converge (vers une limite)
  • théorème du point fixe :
    • si | f '(L) | > 1 : la suite ne peut pas converger vers L
    • si | f '(L) | < 1 : il existe un intervalle autour de L dans lequel la suite converge.
  • sinon : démonstration directe de la convergence : ( u_n − L ) → 0
• démonstration de la croissance (ou de la décroissance) par récurrence :
  si f est croissante sur un intervalle I contenant L et u₀   ( car a < b => f(a) < f(b) )
  Attention : ne pas confondre la croissance de f et la croissance ou décroissance de (u_n)
  • cas : L < u₁ < u₀ ( convergence par valeurs supérieures )
    • démonstration que la suite est minorée :
      • on vérifie que L < u₀
      • on suppose que L < u_n => f(L) = L < f(u_n) = u_n+1 ( puisque f est croissante ).
      • L est un minorant de la suite (u_n)
    • démonstration que la suite est décroissante :
      • on vérifie que u₁ < u₀
      • on suppose que u_n < u_n−1 => f(u_n) = u_n+1 < f(u_n−1) = u_n ( puisque f est croissante ).
      • la suite (u_n) est décroissante
    • la suite est décroissante et minorée donc elle converge.
  • cas : u₀ < u₁ < L ( convergence par valeurs inférieures )
    • démonstration que la suite est majorée
      • on vérifie que L > u₀
      • on suppose que L > u_n => f(L) = L > f(u_n) = u_n+1 ( puisque f est croissante ).
      • L est un majorant de la suite (u_n)
    • démonstration que la suite est croissante :
      • on vérifie que u₁ > u₀
      • on suppose que u_n > u_n−1 => f(u_n) = u_n+1 > f(u_n−1) = u_n ( puisque f est croissante ).
      • la suite (u_n) est croissante
    • la suite est croissante et majorée donc elle converge.
• démonstration directe de la convergence :
  • démontrer que la suite v_n = | u_n − L | → 0
  • Théorème des accroissements finis : pour une fonction f(x) continue et dérivable sur ] a ; b [,
    Il existe c appartenant à ] a ; b [ tel que : f(b) − f(a) = (b − a) × f '(c)
  • Si L et les termes de la suite restent dans un intervalle ] a ; b [
    • v_n+1 = | u_n+1 − L | = | f(u_n) − f(L) | = | u_n − L | × | f '(c) | = v_n × | f '(c) |
    • avec c entre u_n et L donc dans l'intervalle ] a ; b [
    • si | f '(x) | ≤ q < 1 dans ] a ; b [
    • la suite v_n est majorée par la suite géométrique : v₀ qⁿ → 0
    • comme 0 < v_n < v₀ qⁿ → 0 => v_n → 0 par encadrement.
    • donc : u_n → L
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