dérivées 22/11/2020 [répertoire]

• Liens : maths et tiques
  niveau-premiere : dérivées
• Bilan des cours précédents :
  • méthode de travail : communication par e-mail plutôt que par téléphone (WhatsApp, SMS)
  • DM sur les fonctions (lecture graphique) 9,5/20 ? des questions ?
    
  • Comment s'est passé l'exposé sur les trous noirs ? des questions ?
    trous_noirs.html
  • DM SI sur les flottants ? des questions ? 2020_11_14_flottants.html
    conversion d'un nombre décimal en binaire : partie entière ; partie décimale
    x = . . . + a₂B² + a₁B¹ + a₀B⁰ + a₋₁B⁻¹ + a₋₂B⁻² + . . .
    partie entière : E(x) = ((( . . .+ a₃B) + a₂B) + a₁)B + a₀
    a₀ est le reste de la division de E(x) par B
    a₁ est le reste de la division du quotient précédent ((( . . .+ a₃B) + a₂B) + a₁) par B
    . . .
    partie décimale : D(x) = a₋₁/B + a₋₂/B² + . . .
    a₋₁ est la partie entière de B × D(x) = a₋₁ + a₋₂/B + . . .
    a₋₂ est la partie entière de B × (B × D(x) − a₋₁)
    . . .
  • fonction valeur absolue |x| valeur_absolue.html
    |f(x)| : 2 cas à étudier : f(x) < 0 et f(x) >= 0
    Cas compliqués : | f(x) + |g(x)|| : 4 cas à étudier . . .
    | f(x) + |g(x) + |h(x)||| : ? cas à étudier   (certains cas seront impossibles)
• dérivées :
  notation : dérivée de f(x) = f '(x) = df(x)/dx
  définition : dérivée de f(x) au point d'abscisse a
  f '(a) = limite quand h → 0 de (f(a+h) − f(a)) / h
  interprétation : soient A et B deux points de f(x) : la droite AB est une sécante de la courbe
  (f(a+h) − f(a)) / h est le taux d'accroissement entre les points A (a ; f(a)) et B (a+h ; f(a+h))
  Δy / Δx = (y_B − y_A) / (x_B − x_A) = (f(a+h) − f(a)) / h
  Δy / Δx = tangente de l'angle entre l'axe Ox et la droite (A B)
  Quand le point B se rapproche de A en suivant la courbe,
  la sécante (A B) tend vers la tangente à la courbe de f(x)
  f '(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe f(x) au point A (a ; f(a))
• (f(a+h) − f(a)) / h quand h = 0 est une forme indéterminée : 0 / 0
  Il faut lever l'indétermination en simplifiant par h entre le numérateur et le dénominateur.
• exemple : calcul de la dérivée de x²
  (f(a+h) − f(a)) / h = ( (a+h)² − a² ) / h
  (f(a+h) − f(a)) / h = ( a² + 2 a h + h² − a² ) / h
  (f(a+h) − f(a)) / h = ( 2 a h + h² ) / h
  (f(a+h) − f(a)) / h = 2 a + h
  limite quand h → 0 de 2 a + h = 2 a
  La dérivée de x² au point (a ; a²) est 2 a
  La fonction dérivée de f(x) = x² est f '(x) = 2 x
  La fonction dérivée de f(x) = xⁿ est f '(x) = n xⁿ⁻¹ quelque soit n
  La fonction dérivée de f(x) = a x est f '(x) = a   (coefficient directeur de la droite y = a x)
  La fonction dérivée de f(x) = a est f '(x) = 0   (coefficient directeur de la droite y = a)
• équation de la tangente :
  rappel : équation de la droite (A B) avec A et B ∈ courbe de f(x)
  Soit M (x ; y) un point quelconque de la droite (A B) :
  Δy = y_B − y_A = Différence des y
  coefficient directeur = Δy / Δx
  Δy / Δx = (y_B − y_A) / (x_B − x_A) = (f(b) − f(a)) / (b − a)
  Δy / Δx = (y_M − y_A) / (x_M − x_A) = (y − f(a)) / (x − a)
  Δy / Δx = (y − f(a)) / (x − a) = (f(b) − f(a)) / (b − a)
  y = f(a)) + (x − a) (f(b) − f(a)) / (b − a)
  où (f(b) − f(a)) / (b − a) est le coefficient directeur de la droite (A B)
  Équation de la tangente à la courbe de f(x) au point (a ; f(a)) :
  Δy / Δx = (y − f(a)) / (x − a) = f '(a)
  Soit : y = f(a) + (x − a) f '(a)
• exemple : f(x) = x² + 3 x + 5
  f '(x) = limite quand h → 0 de : [ (x+h)² + 3 (x+h) + 5 − (x² + 3 x + 5) ] / h
  f '(x) = limite quand h → 0 de : [ 2 h x + h² + 3 h ] / h
  f '(x) = limite quand h → 0 de : 2 x + h + 3
  f '(x) = 2 x + 3
  Future méthode à utiliser : la dérivée d'une somme = la somme des dérivées
  f '(x) = (x²)' + (3 x)' + (5)'
  f '(x) = 2 x + 3 + 0
  Équation de la tangente au point d'abscisse 0 :
  x = 0   ⇒   y = f(0) = 5   et   f '(0) = 3
  y = f(a) + (x − a) f '(a)   avec a = 0
  y = 5 + (x − 0) 3 = 3 x + 5
  Pour tracer la parabole : la mettre sous la forme canonique :
  f(x) = (x + 3/2)² − 9/4 + 5 = (x + 3/2)² + 11/4
  Sommet : (−3/2 ; 11/4)
  Équation de la tangente au point d'abscisse 2 :
  x = 2   ⇒   y = f(2) = 15   et   f '(2) = 7
  y = f(a) + (x − a) f '(a)   avec a = 2
  y = 15 + (x − 2) 7 = 7 x + 1
  Équation de la tangente au point d'abscisse −3/2 :
  x = −3/2   ⇒   y = f(−3/2) = 11/4   et   f '(−3/2) = 0
  y = f(a) + (x − a) f '(a)   avec a = −3/2
  y = 11/4 + (x + 3/2) 0 = 11/4

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