petite révision

• propriétés des opérations :
  • a (b + c) = a b + a c : distributivité de la multiplication pour l'addition
  • à ne pas confondre avec l'associativité : a(b×c) = (a×b)c = a×b×c = a b c
    alors que : a b × a c = a² b c
  • l'addition aussi est associative : a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
  • quand une opération ( + , × ) est associative les parenthèses sont inutiles
• résoudre une équation : A = B
  • pour maintenir l'égalité des 2 membres (gauche et droit) on peut :
    • 1) ajouter/soustraire la même quantité à chaque membre
    • 2) multiplier/diviser les 2 membres par une même quantité
  • a x + b = 0
    • on ajoute −b à chaque membre : (on soustrait a à chaque membre)
      a x + b − b = 0 − b
    • a x = −b
    • on divise chaque membre par a : (on multiplie chaque membre par 1/a)
      a x / a = −b / a
    • x = −b / a
  • autre exemple : a x = b + c
    • on divise chaque membre par a :
      a x / a = ( b + c ) / a
      −> on divise (b+c) par a : ne pas oublier les parenthèses
    • x = ( b + c ) / a
  • page "résoudre une équation"
• symétrie des fonctions :
  • fonction paire     : f(−x) = f(x) symétrique % Oy
  • fonction impaire : f(−x) = −f(x) symétrique % O
• fonctions à connaître :
  • droite : y = a x + b
  • parabole verticale d'axe Oy : y = x^2 (fonction paire)
  • hyperbole : y = 1 / x (fonction impaire)
  • racine de x : y = racine_carrée(x) = √x : demi parabole horizontale d'axe Ox
  • y = |x| valeur absolue de x (fonction paire)
• Equation égale à 0 à résoudre : ensemble des x pour lesquels l'équation est vraie
  • un produit est nul si un des termes est nul
  • un quotient est nul si le numérateur est nul (et que dénominateur n'est pas nul)
• Inéquation ≥ 0 à résoudre : ensemble des x pour lesquels l'inéquation est vraie
  • f(x) = (x + 4) (x − 4) ≥ 0
  • D'après la courbe :
    • f(x) > 0 pour x dans ] −∞ ; −4 [   (OK)
    • f(x) = 0 pour x = − 4                   (OK)
    • f(x) < 0 pour x dans ] −4 ; 4 [   (à rejeter)
    • f(x) = 0 pour x = 4                       (OK)
    • f(x) > 0 pour x dans ] 4 ; ∞ [         (OK)
    • Réponse : f(x) ≥ 0 pour x dans ] −∞ ; −4 ] union [ 4 ; ∞ [
• optique :
  • 1/OF' = 1/OA' − 1/OA
  • 1/f ' = 1/a' − 1/a
  • on cherche a' connaissant a et f ' : (on passe −1/a dans l'autre membre)

    1/a'	=	1/a	+	1/f '
    image		objet		lentille

  • résoudre pour obtenir a' :
    • mettre les termes du membre de droite au même dénominateur : 1/a' = 1/a + 1/f ' = (f ' + a) / (a f ')
    • inverser les 2 membres : a' = a f ' / ( a + f ')     ( le produit sur la somme )

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