Cours du 28 Janvier 2015 (révision du cours du 8 janvier 2015)

• Surface d'un rectangle de côtés x et y : S = x y
  • volume d'un parallélépipède rectangle de côtés x, y et z : V = x y z
    On peut le retrouver en prenant des dimensions entières et en construisant le volume avec des cubes de côté 1 :
    • on construit une ligne de x cubes, on copie y fois cette ligne (rectangle de x y cubes)
    • on empile z couches de ce rectangle (volume de x y z cubes)
  • surface d'un triangle : S(triangle) = base × hauteur / 2  
    (faire un dessin : la moitié du rectangle : base × hauteur)
  • surface d'un triangle rectangle de côtés de l'angle droit a et b : la moitié du rectangle = a b / 2
  • volume d'un cylindre : V(cylindre) = base × hauteur (valable pour un parallélépipède)
  • volume d'un cône : V(cône) = base × hauteur / 3 (valable pour une pyramide)
  • périmètre d'un cercle : P(cercle) = 2 π R
  • surface d'un disque : S(cercle) = π R²
• factoriser un polynôme de degré n : P_n(x) = a_n xⁿ + a_n−1 xⁿ⁻¹ + ... + a₁ x + a₀
  • exemple : voir cours du 8 Janvier 2015
  • P_n(α) = 0 => α est une racine du polynôme P_n(x)
    on peut factoriser P_n(x) = (x − α) P_n−1(x)
  • On développe le produit :
    Pour que les 2 polynômes soient identiques, tous leurs coefficients doivent être égaux
• Equation cartésienne d'une droite (D) : a x + b y + c = 0
  • vecteur directeur (u, v) droite : v x − u y + c = 0
  • passant par le point A(x_A, y_A) :
    Les coordonnées du point A vérifient l'équation de la droite
  • remarque : le vecteur (u, v) est perpendiculaire au vecteur (v, −u)
      → faire un exemple dans un repère orthonormé.
• vecteurs colinéaires : V₁ (x₁, y₁) et V₂ (x₂, y₂)
  • intérêt des vecteurs : on traite toutes les composantes en même temps (avec une seule équation).
  • Si les vecteurs sont proportionnels : s'il existe α tel que V₂ = α V₁
    Soit : x₂ = α x₁ et y₂ = α y₁
    d'où : α = x₂ / x₁ = y₂ / y₁
    en mutipliant par : x₁ y₁, on obtient : x₂ y₁ = y₂ x₁
  • d'où la condition : x₁ y₂ − x₂ y₁ = 0
• comparaison de vecteurs (exemples : vecteurs égaux ou proportionels) :
  • choisir une base (en 2D plan : 2 vecteurs non colinéaires) dans laquelle on exprime tous les vecteurs.
  • la décomposition est unique : si 2 vecteurs sont égaux, ils ont les mêmes coordonnées
  • exemple : V₁ = a AB + AC à comparer à V₂ = AB + (1/a) AC
      en mulitipliant V₂ par a, on obtient : a V₂ = a AB + AC = V₁ (ils sont proportionels)
    remarque : coordonnées de V₁ dans la base (AB, AC) : (a, 1)
          coordonnées de V₂ dans la base (AB, AC) : (1, 1/a)
• Intersection de 2 droites D₁ et D₂ : exemple : voir cours du 8 Janvier 2015
• résolution d'une équation du second degré : f(x) = a x² + b x + c = 0
  • Δ = b² − 4 a c Formule à apprendre par coeur.
  • vérification des solutions :
    • en divisant par a : φ(x) = f(x)/a = x² + (b/a) x + (c/a) = 0
    • soit la forme : x² − S x + P = 0
      en effet : φ(x) = (x − x₁) (x − x₂) = x² − (x₁ + x₂) + x₁ x₂
      S = −b/a = x₁ + x₂
      P = c/a = x₁ x₂
    • exemple : on trouve les racines −5 et 3 pour l'équation 2 x² + 4 x − 30 = 0
      • P =   c/a = −30 / 2 = −15 : on vérifie que −5 × 3 = −15 ... OK
      • S = −b/a = −4 / 2 = −2     : on vérifie que −5 + 3 = −2 ... OK

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