Cours du 05 février 2019 : Maths   [répertoire]

• entraînement :
  calculs test
  courbes_usuelles_test
• références :
  • cours 2018   (tous les cours)
  • étude de fonction Cubique
  • fiche proba
  • suites
  • puissances (de 10) (= exponentielles à base 10)

    ln(x) : croissante ; ln(1) = 0 ; ln(e) = 1   avec e ≈ 2,71828 limites : ln(0) = −∞ ; ln(+∞) = +∞ dérivée : (ln(u))' = u'/u   donc (ln(1/u))' = − (ln(u))' = −u'/u exemple : (ln(a x2 + b x + c))' = (2 a x + b) / (a x2 + b x + c) monotone donc : ln(A) = ln(B) ⇔ A = B croissante donc : ln(A) < ln(B) ⇔ A < B f(x) = ln(ax) ⇒ f '(x) = 1/x ⇒ f ''(x) = −1/x2 ⇒ f '''(x) = 2/x3 . . .

    voir : formulaire des exponentielles
  • derivées de base
  • primitives de base
  • 12 sujets de bac (avec 4 corrigés) ; APMEP annales 2018 (12 sujets+corrigés)
  • annales thématiques :   on y trouve tous les exercices de type BAC (avec corrigés)
• fiche sur les complexes
• Liban_29_mai_2018 Exercice 2 Suite complexe
  rappel : (ρ e^iθ)ⁿ = ρⁿ e^inθ
• 2018-pondichery ex.2
  rappel : racine cubique de l'unité : j = (−1+i√3)/2 vérifie j³ = 1
  révisions : triangles isocèle, équilatéral
  → ma correction détaillée
• Bac blanc sur les complexes
• Pour les complexes, réviser les angles particuliers de la trigo : cercle trigo
  cos(0) = 1 ; cos(pi/6) = racine(3)/2 ; cos(pi/4) = racine(2)/2 ; cos(pi/3) = 1/2 ; cos(pi/2) = 0
  sin(0) = 0 ; sin(pi/6) = 1/2 ; sin(pi/4) = racine(2)/2 ; sin(pi/3) = racine(3)/2 ; sin(pi/2) = 1
  Les carrés des sinus et cosinus sont plus faciles à mémoriser :
    cos²(0) = 4/4 ; cos²(pi/6) = 3/4 ; cos²(pi/4) = 2/4 ; cos²(pi/3) = 1/4 ; cos²(pi/2) = 0/4
• Le site de l'APMEP : avec 12 sujets de bac 2018
• Mécanique :
  • Galilée : sur terre : accélération constante = g : trajectoire parabolique ; Boulet(Fer) tombe comme un Boulet(bois)
    Car on peut négliger la résistance de l'air.
  • Tycho Brahe : relève les positions des planètes en fonction du temps
  • Képler : à partir des positions des planètes découvre :
    • 1) Loi des orbites : les planètes décrivent des ellipses dont le soleil occupe un des 2 foyers
    • 2) Loi des aires : dA/dt = constante = vecteur(r) . vecteur(v) = L/m
    • 3) Loi des périodes : (2 π / T)² a³ = G M_soleil
  • Newton : 3 lois du mouvement
    • 1) Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système est constant si et seulement si la somme des vecteurs forces qui s'exercent sur le système est un vecteur nul.
      Référentiel Galiléen = en translation à vitesse constante ; (Principe d'inertie)
    • 2) Dans un référentiel galiléen, la dérivée de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures qui s'exercent sur le solide.
      PFD = Principe Fondamental de la Dynamique
      ∑ F_ext = m a
    • 3) Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, de même direction mais de sens opposé, exercée par le corps B.
      F_A/B = − F_B/A   (quelle que soit la force !)
      La somme des forces intérieures est nulle.
      Principe des actions réciproques
    • +) A partir des lois de Képler trouve : F_gravitation = G M m / r²   radiale, attractive
• Résoudre le système : calculs avec les exponentielles
  • y = x e^t + e^t (1 − t)
    y = − x e^−t + e^−t (1 + t)
  • démontrer que x = t − (e^t − e^−t) / (e^t + e^−t)
    et y = 2 / (e^t + e^−t)
  • élimination de y pour obtenir x :
    x e^t + e^t (1 − t) = − x e^−t + e^−t (1 + t)
    x (e^t + e^−t) = e^−t + t e^−t − e^t + t e^t
    x (e^t + e^−t) = t (e^−t + e^t) − (e^t − e^−t)
    x = t − (e^t − e^−t) / (e^t + e^−t)
  • substitution de x pour obtenir y :
    y = x e^t + e^t (1 − t)
    y = [t − (e^t − e^−t) / (e^t + e^−t)] e^t + e^t (1 − t)
    y = t e^t − (e^2t − 1) / (e^t + e^−t) + e^t − t e^t
    y = − (e^2t − 1) / (e^t + e^−t) + e^t
    y = − (e^2t − 1) / (e^t + e^−t) + e^t (e^t + e^−t)/ (e^t + e^−t)
    y = [ − (e^2t − 1) + e^2t + 1 ] / (e^t + e^−t)
    y = [ − e^2t + 1 + e^2t + 1 ] / (e^t + e^−t)
    y = 2 / (e^t + e^−t)

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