Cours du 27 Décembre 2010 Algèbre linéaire

• Démontrer : ^tA A = 0 => A = 0
  voir le cours précédent
• Exercice de diagonalisation d'une matrice
  • Passer le calcul des vecteurs propres, faire la fin
  • Calcul de P⁻¹, D, relation A(D), Aⁿ
  • Bien voir la méthode systématique d'inversion d'une matrice.
• Exercice P_n > 0,95 : Proba Généralités page 20-21 (Costantini)
• Exercice de probabilités
• Soient 2 variables aléatoires X ( de loi P(X=x_i) = f_i ) et Y (de loi P(Y=y_i) = g_i )
  • Espérance d'une somme : (lois quelconques, même dépendantes)
    • E(X+Y) = ∑_i,j (x_i + y_j) f_i g_j
    • E(X+Y) = ∑_i ( x_i f_i ∑_j g_j + f_i ∑_j y_j g_j ) = ∑_i ( x_i f_i 1 + f_i E(Y) )
    • E(X+Y) = ∑_i x_i f_i + E(Y) ∑_i f_i = E(X) + E(Y) 1
    • E(X+Y) = E(X) + E(Y)
    • => E(∑_iX_i) = ∑_iE(X_i)
    • et même : E(∑_iα_iX_i) = ∑_iα_iE(X_i)
  • Variance d'une somme d'évènements indépendants :
    • rappel : V(X) = ∑_i x_if_i − E(X)²
    • V(X+Y) = ∑_i,j (x_i + y_j)² f_i g_j − E(X+Y)²
    • V(X+Y) = ∑_i,j (x_i² + y_j² + 2 x_iy_j) f_i g_j − [E(X)+E(Y)]²
    • V(X+Y) = ∑_i x_i²f_i + ∑_j y_j²g_j + 2 ∑_i,j x_iy_jf_ig_j − [E(X)²+E(Y)² + 2E(X)E(Y)]
    • Comme les évènements sont indépendants : ∑_i,j x_iy_jf_ig_j = ∑_i x_if_i ∑_j y_jg_j = E(X) E(Y)
    • V(X+Y) = V(X) + V(Y)
    • => V(∑_iX_i) = ∑_iV(X_i)
    • et même : V(∑_iα_iX_i) = ∑_iα_i²V(X_i)
  • Variance d'une somme d'évènements dépendants :
    • V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 cov(X,Y)
      formule qui est utilisée pour calculer la covariance de 2 variables aléatoires
    • et même : V(αX+βY) = α² V(X) + β² V(Y) + 2 αβ cov(X,Y)
    • Les variables X et Y sont indépendantes si leur covariance : cov(X,Y) = 0

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