Cours du 02 Avril 2011

• intégration par parties
• changement de variable : I = ∫_a^b f(x) dx ( Cas général )
  • on remplace x par u avec u = g(x) : x = g⁻¹(u)
  • les bornes signifient de x=a à x=b
  • les bornes pour u : quand x=a, u=u(a) et quand x=b, u=u(b)
  • on remplace dx par du = g'(x) dx
  • dx = du / g'(x) = du / g'(g⁻¹(u))
  • Il ne reste plus que des u et du dans l'intégrale : ( I = ∫_u(a)^u(b) f(x) / g'(x) du )
    I = ∫_u(a)^u(b) f(g⁻¹(u)) / g'(g⁻¹(u)) du
• exemple : I = ∫₀^∞ x e^−x2/2 dx
  on effectuera le changement de variable : u = x²
  car on a reconnu dans x dx la dérivée de x² (à un facteur près)
  • bornes en u : 0² = 0 et ∞² = ∞ ( donc pas de changement )
  • x = √ u
  • du = 2 x dx     d'où : dx = 1 / ( 2 √ u ) du
  • I = ∫₀^∞ √ u e^−u/2 1 / ( 2 √ u ) du
  • on sort les constantes de l'intégrale : I = (1/2) ∫₀^∞ e^−u/2 du
  • on peut faire l'intégration maintenant ou refaire un changement de variable v = −u/2
  • ∫ e^−u/2 du = K e^−u/2
  • Pour régler le K, on dérive : ( K e^−u/2 )' = (−1/2) K e^−u/2
    d'où 1 = (−1/2) K     soit K = −2
  • I = (1/2) [−2 e^−u/2]₀^∞
  • I = [ 0 + e⁰ ] = 1
• intégrer une fraction rationnelle : ∫ P(x) / Q(x) dx   ( avec P(x) et Q(x) des polynomes )
  • il faut la décomposer en somme de fractions simples
  • exemple : 1 / ( x (x − 1) ) = a / x + b / (x − 1)
  • trouver (a, b) tels que l'équation prédédente soit vraie quelque soit x
  • en multipliant par ( x (x − 1) ) on obtient : 1 = a (x − 1) + b x
  • 1 = x(a + b) − a     ( cette expression doit être vraie quelque soit x )
  • x(a + b) − a − 1 = 0
  • d'où : a + b = 0 ainsi que : − a − 1 = 0
  • soit a = −1 et b = 1
  • 1 / ( x (x − 1) ) = − 1 / x + 1 / (x − 1)
• Exercice 4 question 01
  Pentagone des trajets possibles

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