voici une page sur la courbe de l'oubli :
- 1) les arrondis
- 2) le calcul des raisons arithmétiques ou géométriques
Voir la méthode générale : calcul de raison
2 équations à 2 inconnues pour la suite arithmétique
\( u_5 = u_0 + 5 r \)
\( u_9 = u_0 + 9 r \)
soustraction membre à membre :
\( \displaystyle\bf{ u_9 - u_5 = (9 - 5) r = 4 r \Rightarrow r = \frac{u_9-u_5}{4} } \)
2 équations à 2 inconnues pour la suite géométrique
\( u_5 = q^5 u_0 \)
\( u_9 = q^9 u_0 \)
division membre à membre :
\( \displaystyle{\bf \frac{u_9}{u_5} = \frac{q^9}{q^5} = q^{9-5} = q^4 \Rightarrow q = \left(\frac{u_9}{u_5}\right)^{\frac{1}{4}} } \) - propriété des puissances et exponentielles :
\( \displaystyle{ e^x \times e^y = e^{x+y} } \) et \( \displaystyle{ \frac{ e^x }{ e^y } = e^{x-y} } \)
\( \displaystyle{ (e^x)^y = e^{xy} } \) d'où
\( \displaystyle{\bf e^x = a \Rightarrow (e^x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{x}{x}} = a^{\frac{1}{x}} \Rightarrow e = a^{\frac{1}{x}} } \)
suites arithmétiques / géométriques
démonstration des formules explicites à partir des formules par récurrence :
2021_02_06_cours.html
conjecture : hypothèse à démontrer
hérédité : une relation est vraie à l'ordre n ⇒ la relation est vraie à l'ordre n+1
Il faut vérifier qu'elle est vraie à l'ordre 0 : alors elle est vraie ∀ n ≥ 0
dernières révisions : suites + python
2021_02_08_cours.html feuille de test
programme_1ereS_maths.html
Vous pouvez commencer à regarder : Dériver une fonction exponentielle - Première de Maths-et-Tiques
fonction exponentielle - Première de Maths-et-Tiques
exponentielle : \( \bf{ (e^x)' = e^x } \) e ≈ 2.71828 (e à la puissance x)
Ce qui permettra de commencer le sujet de BAC Polynésie 2020 :
math_1ereS/2020_12_26_polynesie_2020.html
Sujets de bac 2021 (nouvelle formule) :
Mathématiques classe de Première
(avec plusieurs domaines : suites, polynômes, dérivées, exponentielle, trigo, vecteurs, proba)
https://www.sujetdebac.fr/annales/sujets-e3c
sujetdebac.fr mathématiques première
sujetdebac.fr mathématiques première 2021
mathematiques-premiere-02597 exercice 3 sur les Suites numériques
Il y a aussi les sujets de : Scientifique, Anglais, SI, NSI, Physique-Chimie
e3c-enseignement-scientifique-premiere-02393-sujet-officiel.pdf
énoncé : Lancement d'un hebdomadaire
1) modélisation des ventes par une suite géométrique : \( u_{n+1} = q u_n \)
les ventes augmentent de 2% chaque semaines :
\( \displaystyle{ x \rightarrow x + \frac{2x}{100} = (1 + \frac{2}{100}) x = \frac{102}{100} x = 1,02\,x } \)
la raison géométrique est q = 1,02
Suite : \( \bf{ u_{n+1} = 1,02 \, u_n } \)
\( u_1 = 1,02 \, u_0 = 1,02 \times 1200 = 1224 \)
\( \bf{ u_2 = 1,02 \times 1224 = 1248,48 \approx 1248 } \)
interprétation de u2 : C'est le nombre d'exemplaires vendus la deuxième semaine.
2) formule explicite de un :
Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, la forme explicite est \( \bf{ u_n = u_0 \, q^n } \)
Ici : \( \bf{ u_n = 1200 \times 1,02^n } \)
3) Le programme python retourne la valeur 20
analyse du programme : la suite un est caractérisée par le couple des 2 valeurs (u, n) qui doivent évoluer ensembles
initialisation : (u=1200,n=0) équivaut à u0 (ventes de la semaine 0)
S est initalisée à u0
Boucle while tant que S < 30 000
au premier passage : S = 1200 : la condition S < 30 000 est vérifiée : on entre dans la boucle
au second passage : (u=1224,n=1) équivaut à u1
S = 1200 + 1224 = 2424 : la condition S < 30 000 est encore vérifiée : on continue la boucle
S accumule toutes les valeurs de un depuis le début des ventes
le programme retourne n=20 : on vient de sortir de la boucle :
S = somme des ventes de u0 à u20 et S ≥ 30 000 (condition de sortie de boucle)
interprétation :
Après 20 semaines, le total des ventes depuis le début a atteint ou dépassé 30 000 exemplaires.
4) Nombre total d'exemplaires vendus en un an :
Soit 52 semaines de ventes
\( \bf{ S = u_0 + u_1 + u_2 + . . . + u_{52} } \)
C'est la somme d'une suite géométrique :
\( \bf{ S = u_0 + u_0 q + u_0 q^2 + . . . + u_0 q^{52} } \)
\( \bf{ q S = u_0 q + u_0 q^2 + u_0 q^3 + . . . + u_0 q^{53} } \)
Par soustraction membre à membre : la plupart des termes des sommes se simplifient
\( \bf{ q S - S = u_0 q^{53} - u_0 } \)
\( \bf{ (q-1) S = (q^{53} - 1) u_0 } \)
\( \displaystyle{\bf S = \frac{q^{53}-1}{q-1} u_0 } \)
application numérique : \( \displaystyle{\bf S = \frac{1,02^{53}-1}{1,02-1} 1200 \approx 111380,0849494284 } \)
que l'on arrondi à l'unité car il s'agit de journaux : 111 380 exemplaires vendus la première année.