Lois usuelles

• Lois discrètes finies :
  • Loi uniforme : 1 tirage avec n valeurs possibles
    • Univers : Ω = [[ 1 ; n ]]
    • Loi : p(X=k) = 1 / n
    • E(X) = (n+1) / 2
    • V(X) = (n² − 1) / 12
  • Loi de Bernoulli : 1 tirage avec 2 valeurs possibles { échec ; succès }
    • Univers : Ω = { 0 ; 1 } = [[ 0 ; 1 ]]
    • Loi : p(X=0) = 1 − p ; p(X=1) = p
    • E(X) = p
    • V(X) = p (1−p)
  • Loi binomiale : n tirages de Bernoulli à p constante (tirages dans une urne avec remise)
    • Univers : Ω = [[ 0 ; n ]]
    • Loi : p(X=k) = ( k parmi n ) p^k (1−p)^n−k
    • E(X) = n p
    • V(X) = n p (1−p)
  • Loi hypergéométrique : n tirages sans remise dans une urne (N boules)
    • Univers : Ω = [[ 0 ; n ]]
    • Loi : p(X=k) = (k parmi pN) × ( (n−k) parmi (1−p)N ) / ( n parmi N )
    • E(X) = n p
• Lois discrètes infinies :
  • Loi géométrique : tirages de Bernoulli jusqu'au succès
    • Univers : Ω = [[ 1 ; ∞ [[
    • Loi : p(X=k) = (1−p)^(k−1) p
    • E(X) = 1 / p
    • V(X) = (1−p) / p²
  • Loi de Poisson : nombre d'évènements
    • Univers : Ω = [[ 0 ; ∞ [[
    • Loi : p(X=k) = e^−λ λ^k / k!
    • E(X) = λ
    • V(X) = λ
  • Loi binomiale négative : tirages de Bernoulli jusqu'au r^ème succès
    • Univers : Ω = [[ r ; ∞ [[
    • Loi : p(X=k) = ( (r−1) parmi (k−1) ) (1−p)^(k−r) p^r
• Lois continues finies :
  • Loi uniforme : 1 tirage dans [ a ; b ]
    • Univers : Ω = [ a ; b ]
    • Loi : p(X=x) = 1 / ( b − a )
    • E(X) = ( a + b ) / 2
• Lois continues infinies :
  • Loi exponentielle :
    • Univers : Ω = [ 0 ; ∞ [
    • Loi : p(X=x) = λ e^{− λ x}
    • E(X) = 1 / λ
    • V(X) = 1 / λ²
  • Loi normale :
    • Univers : Ω = ] −∞ ; ∞ [
    • Loi : p(X=x) = [ 1 / ( σ √2 π ) ] e ^{− ( x − m )2 / ( 2 σ2 )}
    • E(X) = m
    • V(X) = σ²
    • Loi normale centrée réduite : m = 0 et σ = 1
      obtenue par le changement de variable : x' = ( x − m ) / σ

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