Math : géométrie 3D Cube ∩ Plan   [répertoire]

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  • 2018_pondichery_exercice_4 avec des vecteurs
  • cours avec 3 exemples de type I=(a,0,0) J=(0,b,0) K=(0,0,c)
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• En appliquant les instructions qui suivent, on calcule facilement l'intersection d'un cube avec un plan :
  Il n'y a que 2 actions possibles :
  • 1) on joint 2 points d'une même face (ce segment appartient au cube et au plan)
    on prolonge ce segment ainsi que les arêtes de la face : en tout 4 points sur des arêtes
    cas particulier : la droite est // à 2 arêtes de la face : elle est alors // à 4 arêtes
  • 2) quand on a une droite sur une face, un point sur la face opposée, on peut tracer la droite // sur la face // (opposée) passant par le point
• problème type : Intersection d'un plan défini par 3 points (I,J,K) avec les faces d'un solide (cube)
  • = Trace du plan sur le cube (repère A,AB,AD,AE)
    cas où les 3 points appartiennent aux faces ou aux arêtes du cube (ou leur prolongement).
  • les 6 faces du cube définissent 6 plans
  • on prolonge la droite formée par 2 points d'une même face jusqu'aux arêtes de cette face ou leur prolongement
    chaque droite d'une face coupe les 4 côtés de la face → 4 points (sauf si elle est parallèle à une des arêtes)
    comme les nouveaux points appartiennent à une arête, il appartiennent à 2 faces
    c'est ainsi que l'on obtient des points appartenant aux faces voisines.
  • si 2 des points ont une face commune, il définissent la droite d'intersection du plan avec cette face.
    il faut prolonger les droites et les arêtes car la plupart des intersections sont en dehors du solide.
    il faut repasser en trait épais, le contour de l'intersection qui appartient aux faces du cube.
    
    
• 3 exemples de constructions : trouver l'ordre de tracer des traits ! (On donne 3 points du plan)

  I=(1,0,0) J=(0,2,0) K=(0,0,3)	I=(1.5,0,0) J=(0,1.5,0) K=(0,0,1.5)	I=(2.1,0,0) J=(0,2.1,0) K=(0,0,2.1)
  IJ, JK, KI → L,M,N,O → LN, (MO)	IJ, JK, KI → L,M,N,O,P,Q	IJ, JK, KI → L,M,N,O,P,Q → LO, MP, NQ

  Avec I=(a,0,0) J=(0,a,0) K=(0,0,a) : n=(1,1,1)/√3
  dist = a/√3 ; Seuils : 0, a/√3, 2a/√3, 3a/√3=a√3
• particularités :
  • nombre de côtés de la trace du plan sur le cube : 0, 3, 4, 5, 6
  • les segments découpés par un plan sur 2 faces parallèles sont parallèles.
  • un plan qui intersecte 2 plans parallèles découpe 2 droites parallèles.
• exemple de coordonnées :
  A=(0,0,0) ; B=(1,0,0) ; C=(1,1,0) ; D=(0,1,0) (face du bas   : z=0)
  E=(0,0,1) ; F=(1,0,1) ; G=(1,1,1) ; H=(0,1,1) (face du haut : z=1)
  C=(1,1,0) ; D=(0,1,0) ; G=(1,1,1) ; H=(0,1,1) (face de droite : y=1)

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